לוגיקה, הגיון

קטגוריה זו מדגישה כישורי חשיבה לוגית כלליים, המיושמים לעיתים קרובות בחידות או תרחישים שאינם פורמליים לחלוטין. היא כוללת דדוקציה, הסקה, זיהוי תבניות והסקת מסקנות מבוססות ממידע נתון. יש חפיפה עם לוגיקה פורמלית אך היא יכולה להיות רחבה יותר.

• שקילת מטבעות

  נתונים שבעה מטבעות זהים למראה, ארבעה מתוכם אמיתיים ושלושה מזויפים. שלושת המטבעות המזויפים זהים במשקלם וכן ארבעת המטבעות האמיתיים.
  ידוע כי מטבע מזויף קל יותר ממטבע אמיתי. בשקילה אחת ניתן לבחור בשתי קבוצות של מטבעות ולבדוק מי מהן קלה יותר, או אם משקלן זהה.
  כמה שקילות נחוצות על מנת לאתר מטבע מזויף אחד לפחות.

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת האלגוריתמים -> שקילות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 1

• חוגי הילדים

  בגן ילדים מתקיימים שלושה חוגים: ג'ודו, חקלאות ומתמטיקה. כל ילד משתתף בחוג אחד בדיוק ובכל חוג יש לפחות משתתף אחד. מספר הילדים בגן הוא 32. ביום שישי הגננת אספה 6 ילדים שיסדרו את הכיתה. הגננת ספרה וגילתה כי בדיוק חצי מתלמידי החוג לג'ודו, רבע מתלמידי החוג לחקלאות ושמינית מתלמידי החוג למתמטיקה נרתמו למשימה. כמה תלמידים יש בכל חוג?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> שברים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 1

• ציור של קשר

  נתון לוח משבצות בגודל 5x5 שמחולק למשבצות 1x1. שתי משבצות נקראות קשורות אם הן נמצאות באותה שורה או באותה עמודה, והמרחק בין מרכזי המשבצות הוא 2 או 3.
  לדוגמה, בציור מסומנות בצבע אפור כל המשבצות הקשורות למשבצת האדומה. סמי מקבל לוח לבן, ורוצה לסמן עליו כמה שיותר משבצות שאף שתיים מהן אינן קשורות זו לזו. מהי הכמות המרבית של משבצות שהוא יכול לסמן?
  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 2

• שיוויון בשלבים

  על הלוח כתובים המספרים 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ודוד אמור לשנות אותם בשלבים. בכל שלב מותר לדוד לבחור שני מספריים ולשנות אותם ב 1, כלומר להוסיף לשניהם 1, להחסיר משניהם 1, או להוסיף לאחד 1 ולהחסיר מהשני 1.

  האם דוד יוכל אחרי מספר שלבים להגיע למצב שבו כל המספרים על הלוח שווים? אם כן תראו דוגמא ואם לא נמקו את תשובתכם בפירוט.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2017, צעירים שאלה 3

• ריצוף משושה

  נתונים שני סוגים של מרצפות. צורתה של כל מרצפת מהסוג הראשון היא משושה משוכלל בעל צלע באורך 1. צורתה של כל מרצפת מהסוג השני היא משושה משוכלל בעל צלע באורך 2. נתון מלאי בלתי מוגבל של מרצפות מכל אחד מהסוגים. האם ניתן לרצף את כל המישור באמצעות מרצפות אלו, תוך שימוש בכל אחד משני סוגי המרצפות?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 4

• המספר הנעלם

  בר ואילן בחרו כל אחד מספר שלם בין 1 ל- 30.

  אילן: האם המספר שלך כפול משלי?

  בר: לא יודעת. האם המספר שלך כפול משלי?

  אילן: לא יודע. האם המספר שלך חצי משלי?

  בר: לא יודעת. האם המספר שלך חצי משלי?

  אילן: לא יודע.

  בר: אני יודעת מה המספר שלך.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 6

• שניים רבים השלישי לוקח

  השכבה כולה במחלוקת!

  42 חושבים ש-כן, 43 חושבים ש-אולי ו-36 חושבים ש-לא.

  כאשר שניים שחושבים אחרת זה מזה נפגשים - שניהם משנים את עמדתם לזו השלישית.

  כמה מפגשים לכל הפחות צריכים להתקיים עד שכולם יסכימו על אותה העמדה?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 9

• שאלה

  תלמידי כיתה ח' זרקו כדורי גומי לקופסה ואחר כך ניסו לנחש כמה כדורים הצטברו שם. חמישה תלמידים ניסו לנחש: 45, 41, 55, 50, 43, אך אף אחד לא ניחש בדיוק את הכמות. הניחושים נבדלו מהאמת ב- 3, 7, 5, 7 ו-2 כדורים (לא בהכרח באותו הסדר כמו הניחושים). כמה כדורים היו בקופסה?

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 1

• שאלה

  על הלוח כתובים כל המספרים מ-1 עד `10^9` (כולל `10^9`). המספרים שמתחלקים ב-3 כתובים באדום, ושאר המספרים בכחול. סכום של כל המספרים האדומים שווה ל- `X`, וסכום של כל המספרים הכחולים שווה ל- `Y`. איזה מספר גדול יותר, `2X` או `Y`, ובכמה?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 2

• שאלה

  נתונות מספר קופסאות כבדות שאפשר להסיע אותן באמצעות 7 משאיות עם קיבולת של 6 טון כל אחת, אבל אי-אפשר להסיען באמצעות 6 משאיות מסוג זה.
  א. האם ייתכן שאפשר להסיע אותן ב-3 משאיות שקיבולת של כל אחת היא 7 טון?
  ב. האם ייתכן שאפשר להסיע אותן ב-3 משאיות שקיבולת של כל אחת היא 10 טון?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 5