לוגיקה, הגיון

קטגוריה זו מדגישה כישורי חשיבה לוגית כלליים, המיושמים לעיתים קרובות בחידות או תרחישים שאינם פורמליים לחלוטין. היא כוללת דדוקציה, הסקה, זיהוי תבניות והסקת מסקנות מבוססות ממידע נתון. יש חפיפה עם לוגיקה פורמלית אך היא יכולה להיות רחבה יותר.

• באובב

  בתרגיל הבא ספרות זהות הוחלפו באותיות זהות, וספרות שונות הוחלפו באותיות שונות. שחזרו את התרגיל.

  `BAOxxBAxxB = 2002`

   

   

   

   

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל

• שאלה

  בארץ מסוימת יש יותר מ-101 ערים. הבירה מקושרת בקווי טיסה עם 100 ערים וכל עיר פרט מהבירה מקושר בקווי טיסה בדיוק עם 10 ערים. נתון שמכל עיר ניתן להגיע לכל עיר אחרת (אולי לא בקו ישיר). הוכח כי ניתן לסגור חצי קווי טיסה שמובילים לבירה כך שהאפשרות להגיע מכל עיר לכל עיר תשמר.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת הגרפים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ב, אביב

• חתול לסבתא

  לסבתא חנה יש מספר חתולים. יום אחד הגיעו אליה שלושה נכדים שלה, אבי, בני וגילי, וניסו לנחש כמה חתולים יש לה.

  אבי אמר: "לסבתא יש לפחות 7 חתולים",

  בני אמר: "אבל פחות מ-10, לדעתי",

  ואז גילי אמרה: "לסבתא חנה יש או 9, או 10, או 11 חתולים".

  "כולכם צדקתם!" ענתה הסבתא

   אז כמה חתולים יש לה?
   

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 4

• מה יש בכל כלי?

  על השולחן עומדים בשורה ספל, כוס, קנקן וצנצנת, בסדר לא ידוע. הכלים מכילים חלב, מיץ תפוזים, קולה ומים, אבל לא ידוע מה יש בכל כלי. נתון כי

  • החלב והמים לא בספל
  • הכלי שמכיל מיץ תפוזים עומד בין הקנקן לבין הכלי שמכיל קולה,
  • בצנצנת אין מים וגם לא מיץ תפוזים,
  • הכוס עומדת בין הצנצנת לבין הכלי עם החלב.

  איזה נוזל נמצא באיזה כלי?

   

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות

• שאלה

  לסבתא חנה יש הרבה עציצים עם פרחים בבית. יום אחד הגיעו אליה שלושת הנכדים שלה, אבי, בני וגילי, וניסו לנחש כמה עציצים יש לה.
  אבי אמר: "לסבתא יש יותר מ-8 עציצים",
  בני אמר: "יותר מ-10, לדעתי",
  ואז גילי אמרה: "לסבתא חנה יש לפחות 12 עציצים".
  "שניים מכם צדקו, ומישהו אחד טעה"–ענתה הסבתא. אז כמה עציצים יש לה בבית?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 3

• צעצועים

  ליונתן יש אוסף של צעצועי עץ. חלקם קוביות וחלקם כדורים, חלקם אדומים וחלקם כחולים.

  ידוע שיש יותר כדורים מאשר קוביות, וידוע שיש יותר צעצועים כחולים מאשר צעצועים אדומים.

  הוכיחו כי יש ליונתן כדור כחול.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 1

• תמנוני הקסם

  בים הקסום חיים תמנונים שיודעים לדבר. כל תמנון או תמיד דובר אמת, או תמיד משקר. יום אחד
  התקיימה השיחה הבאה בין ארבעה תמנונים, אבי, בני, גידי ודני:

  
  אבי: אני תמנון ירוק
  בני: אני לא ירוק
  גידי: כל התמנונים הירוקים שקרנים
  דני: רק תמנון ירוק יכול להיות שקרן

  
  ידוע שרק אחד מארבעה אלה שקרן, והשאר דוברי אמת.
  א. מי הוא השקרן מבין ארבעה החברים? נמקו!
  ב. האם ניתן לדעת מה הצבע שלו?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 6
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 4

• בול עץ

  ברשותכם בול עץ ארוך מאוד. האם תוכלו למדוד ממנו מטר אחד בדיוק,אם יש לכם לצורך זה
  א. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 40 סנטימטרים,
  ב. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 30 סנטימטרים,

  במידה ואין לכם שום כלי מדידה נוספים? נמקו!

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 7
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 2

• בוחן

  בכיתה של 25 תלמידים התקיים בוחן המורכב מ-7 שאלות. הוכיחו כי לפחות אחד משני המשפטים הבאים נכון:

  1. יש ילד שפתר מספר אי זוגי של שאלות
  2. יש שאלה שפתרו אותה מספר זוגי של ילדים
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 5

• מעגל שקרנים - טענת האמת

  במעגל יושבים n אנשים, כל אחד מהם הוא שקרן או דובר אמת.

  האנשים מסתכלים למרכז המעגל. שקרן תמיד משקר, ודובר אמת תמיד אומר אמת.

  כל אחד מהאנשים יודע בדיוק מי דובר שקר ומי דובר אמת.

  כל אחד מהאנשים אומר שהאיש שיושב שני מקומות לשמאלו (זאת אומרת ליד האיש שיושב לידו), הוא דובר אמת.

  ידוע שבמעגל יש לפחות שקרן אחד, ולפחות דובר אמת אחד.

  א. האם ייתכן ש-2017 = n?

  ב. האם ייתכן ש-5778 = n?

  (פורמט פתרון: "מילה, מילה" למשל "חתול, כלבלב")

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ח שאלה 1