תורת המספרים

תורת המספרים היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות של מספרים שלמים. נושאים כוללים מספרים ראשוניים, חלוקה, קונגרואנציות (חשבון מודולרי), משוואות דיופנטיות ופונקציות של מספרים שלמים. שאלות דורשות לעיתים קרובות חשיבה אנליטית ויצירתית על מספרים.

• שאלה

  a₁, a₂, ..., a₁₀₁ הם תמורה של 2,3,4, ... ,102 . כך ש a_i מתחלק ב-i לכל i. מצא/י את כל התמורות מסוג זה.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 3

• שאלה

  נתונים שני מספרים טבעיים `k`  ו- `m` השונים זה מזה בסדר ספרותיהם (כלומר, אחד מתקבל מהשני באמצעות החלפת סדר הספרות).

  א. הוכיחו שסכום הספרות של `2k` שווה לסכום הספרות של `2m`.

  ב. הוכיחו כי אם `k` ו-`m` זוגיים, אז שסכום הספרות של \(k\over 2\)  שווה לסכום הספרות של \({m \over 2}\).

  ג. הוכיחו שסכום הספרות של `5k` שווה לסכום הספרות של `5m`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות

• שאלה

  על הלוח כתוב המספר `458`. בכל מהלך בודד מותר או להכפיל את המספר שכתוב על הלוח פי `2`, או למחוק את הספרה האחרונה שלו.

  האם אפשר בעזרת הפעולות האלו לקבל את המספר `14`?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  האם יתכן שסכום של שלושה מספרים טבעיים יתחלק בכל אחד מהם?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  הוכיחו כי הפרש ריבועים של שני מספרים אי-זוגיים עוקבים מתחלק ב-`8`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  הוכיחו כי מכפלה של שלושה מספרים עוקבים מתחלקת ב-`6`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים

• שאלה

  הוכיחו כי מכפלה של ארבעה מספרים עוקבים מתחלקת `24`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים

• שאלה

  הוכיחו לי לכל מספר ראשוני `p>3 ` מתקיים:`p^2-1` מתחלק ב-`6`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים

• שאלה

  `a,b` הם שני מספרים טבעיים שונים. סכום המחלקים של כל אחד מהם שווה לאותו מספר טבעי `n`. מהו הערך הקטן ביותר האפשרי של `n`?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז שאלה 1

• שאלה

  א. ברשותכם קנקן גדול של שמן זית של 12 ליטרים ושני ריקים כלים קטנים יותר, של 5 ושל 8 ליטרים. האם תוכלו לחלק את השמן שברשותכם לשני חלקים שווים, אם יש לכם רק את הכלים האלה ואין שום כלי מדידה נוספים?

  ב. אותה השאלה, אבל במקום הכל של 5 ליטרים יש כלי של 4 ליטרים.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית -> אלגוריתם אוקלידס קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה