תורת המספרים

תורת המספרים היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות של מספרים שלמים. נושאים כוללים מספרים ראשוניים, חלוקה, קונגרואנציות (חשבון מודולרי), משוואות דיופנטיות ופונקציות של מספרים שלמים. שאלות דורשות לעיתים קרובות חשיבה אנליטית ויצירתית על מספרים.

מספרים ראשוניים משפט השאריות הסיני חשבון השאריות המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית מספרים משולשיים חלוקה

• שאלה

  על הלוח כתוב מספר דו ספרתי.
  אבי אמר: "ספרת היחידות של המספר היא 3"
  בני אמר: "זה מספר ריבועי"
  גילי אמרה: "המספר הזה הוא כפולה של 12"
  אז המורה אמרה: "יש פה שני משפטים נכונים ואחד שגוי".
  איזה מספר היה כתוב על הלוח?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 1

• שאלה

  ורד החסירה ממספר תלת ספרתי את המספר המורכב מאותן הספרות שכתובות בסדר הפוך.
  כתוצאה היא קיבלה מספר דו ספרתי. מצאו את המספר הדו ספרתי שהיא קיבלה.

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה לוגיקה -> הגיון
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 2

• 2 או 5 אבל לא 3

  כמה מספרים דו ספרתיים מתחלקים ב-2 או ב-5, ולא מתחלקים ב-3?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 6

• שאלה

  על הלוח כתוב מספר דו ספרתי.
  אבי אמר: "במספר הזה מופיעה הספרה 5"
  בני אמר: "זה הוא מספר ריבועי"
  גילי אמרה: "המספר הזה גדול מ-50"
  דני אמר: "המספר מתחלק ב-7."
  אז המורה אמרה: "יש פה שלושה משפטים נכונים ואחד שגוי".
  איזה מספר היה כתוב על הלוח?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 1

• מספרים עוקבים

  א. אבי רוצה למצוא 10 מספרים עוקבים שסכומם יתחלק ב-90.האם הוא יצליח?
  ב. בני רוצה למצוא 11 מספרים עוקבים כך שסכומם יתחלק ב-90.האם הוא יצליח?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, גמר, כיתות ה-ו שאלה 4

• ספרת היחידות

  למרים יש שמונה כרטיסים עם מספרים תלת ספרתיים עוקבים. ספרת היחידות של המספר הקטן ביותר היא 1,
  ספרת היחידות של המספר הגדול ביותר היא 8. מרים סדרה את הכרטיסים בשורה כך שהמספר הראשון מתחלק ב-2,
  המספר השני מתחלק ב-3, המספר השלישי מתחלק ב-4, וכן הלאה עד המספר השמיני שמתחלק ב-9.
  מהי ספרת היחידות של המספר שמתחלק ב-7?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 6

• מספרים על לוח

  בתחילת היום, על הלוח רשומים ארבעה מספרים שלמים (`a_0,b_0,c_0,d_0`). בכל דקה, דני
  מחליף את ארבעת המספרים שעל הלוח ברביעיית מספרים חדשה לפי הכלל הבא: אם
  המספרים הרשומים על הלוח הם (a,b,c,d), ראשית דני מייצר את המספרים
  `a'=a+4b+16c+64d`
  `b'=b+4c+16d+64a`
  `c'=c+4d+16a+64b`
  `d'=d+4a+16b+64c`
  ולאחר מכן הוא מוחק את המספרים (a,b,c,d) ורושם במקומם את המספרים
  ('a'd',d'c',c'b',b'a). לאילו רביעיות התחלתיות (`a_0,b_0,c_0,d_0`) ירשום דני
  בסופו של דבר רביעיית מספרים שכולם
  מתחלקים ב`5780^5780`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 4

• חילוק סופי

  מצאו את כל ה x,y,z,w השלמים שמקיימים `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה

  בשורה רשומים שישה מספרים טבעיים עוקבים בסדר עולה. האם ייתכן שסכום הספרות של המספר הראשון הוא 40 וגם שסכום הספרות של המספר האחרון הוא 18?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ח שאלה 1

• שאלה

  המורה חילקה (עם שארית) את מספר התלמידים בשכבה ב-2, ב-3, ב-4, ב-5 וב-9. כשסיכמה את השאריות, קיבלה 18. מצא את מספר התלמידים בשכבה, אם ידוע שהמספר קטן מ-300.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 6