תורת המספרים

תורת המספרים היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות של מספרים שלמים. נושאים כוללים מספרים ראשוניים, חלוקה, קונגרואנציות (חשבון מודולרי), משוואות דיופנטיות ופונקציות של מספרים שלמים. שאלות דורשות לעיתים קרובות חשיבה אנליטית ויצירתית על מספרים.

מספרים ראשוניים משפט השאריות הסיני חשבון השאריות המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית מספרים משולשיים חלוקה

• דובדבנים ואוכמניות

  `175` ק"ג דובדבנים עולים יותר מ-`125` ק"ג אוכמניות, אבל פחות מ-`126` ק"ג אוכמניות. בנוסף, ידוע שקילוגרם של דובדבנים עולה מספר שלם של שקלים, וגם קילוגרם של אוכמניות עולה מספר שלם של שקלים.

  הוכיחו כי `80` שקלים זה לא מספיק כדי לקנות קילוגרם אחד של אוכמניות ושלושה קילוגרמים של דובדבנים.

  ס.פומין

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 1 נקודות 3

• מכפלת ספרות

  עבור מספר טבעי `x`, נסמן ב-`P(x)` את מכפלת הספרות של `x`, ונסמן ב-`S(x)` את סכום הספרות של `x`. 

  כמה פתרונות יש למשוואה:

  `P(P(x))+P(S(x))+S(P(x))+S(S(x))=1984`

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 4 נקודות 8

• שאלה

  המספרים `1`, `2`, `3`, ..., `9` מחלוקים ל-`3` קבוצות. הוכיחו כי ישנה קבוצה בה מכפלת המספרים גדולה או שווה ל-`72`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  המספרים a,b,c שונים מ-0, והמספרים ab,ac,bc רציונליים.

  א. הראו כי`a^2+b^2+c^2` מספר רציונלי.

  ב. הראו שאם `a^3+b^3+c^3` מספר רציונלי, אז `a+b+c` מספר רציונלי.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 1

• שאלה

  נתון a,b,c מספרים רציונליים שונים הוכיחו כי `sqrt{1/(a-b)^2+1/(b-c)^2 +1 /(c-a)^2}`

  רציונלי

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 3

• סכום ספרות - 9

  לכמה מספרים בטווח מ-1 עד 500 יש סכום ספרות 9?

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 2

• שאלה

  מצאו את המספר הדו ספרתי הקטן ביותר `☺` שמקיים:

  `☺times☺ - ☺ = 600`

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 5

• מספר עשר ספרתי

  יעל כותבת מספרים עשר ספרתיים,שברישום העשרוני שלהם כל אחת מבין הספרות `0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9` מופיעה פעם אחת בדיוק.
  במספרים שיעל כותבת,ההפרש בין כל שתי ספרות סמוכות הוא לפחות 2. מהו המספר הקטן ביותר שיעל יכולה לכתוב?
   

  נושאים:

  תורת המספרים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 3
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 1

• כנס מתמטי

  לכנס מתמטי הגיעו 202 משתתפים משלוש מדינות: ישראל, יוון ויפן.
  ביום הראשון, כל זוג משתתפים מאותה מדינה לחצו ידיים. ביום השני, כל זוג משתתפים
  שאחד מהם ישראלי והשני אינו ישראלי לחצו ידיים. ביום השלישי, כל זוג משתתפים שאחד
  מהם ישראלי והשני יווני לחצו ידיים. סך הכול, התרחשו 20200 לחיצות ידיים. כמה
  משתתפים ישראלים היו בכנס?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 2

• מעגל המספרים

  במעגל רשומים המספרים 1 עד 6 לפי הסדר, כמתואר בציור.
  בכל מהלך, ליאור בוחר מספר כלשהו a במעגל ששכניו b,c ורושם
  במקומו את המספר `(bc)/a`.
  האם ליאור יכול להגיע למצב שבו מכפלת המספרים במעגל גדולה מ- `10^100`
  (א) ב- 100 מהלכים.
  (ב) ב- 110 מהלכים

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 6