תורת המספרים

תורת המספרים היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות של מספרים שלמים. נושאים כוללים מספרים ראשוניים, חלוקה, קונגרואנציות (חשבון מודולרי), משוואות דיופנטיות ופונקציות של מספרים שלמים. שאלות דורשות לעיתים קרובות חשיבה אנליטית ויצירתית על מספרים.

מספרים ראשוניים משפט השאריות הסיני חשבון השאריות המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית מספרים משולשיים חלוקה

• שאלה

  בארץ הקסומה יש מטבעות של `5`, `6` ו-`15` לירות בלבד. לשלומי יש כרגע רק מטבעות של `6` ושל `15` לירות. ברצונו של שלומי לקנות ספר שעולה `38` לירות. האם הוא יצליח לשלם על הספר ללא עודף?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה

• באובב

  בתרגיל הבא ספרות זהות הוחלפו באותיות זהות, וספרות שונות הוחלפו באותיות שונות. שחזרו את התרגיל.

  `BAOxxBAxxB = 2002`

   

   

   

   

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל

• שאלה

  מצא את כל המספרים המתחלקים ב30 ובעלי בדיוק 30 מחלקים שונים (לבדיקת התשובה הכניסו את הכמות שלהם)

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ב, אביב

• שאלה

  נתונה הסדרה `1 , 1/2 ,1/3 ,1/4 ,1/5,...`, האם קיימת סדרה חשבונית שמורכבת מאיברי הסדרה הנ"ל

  1. באורך 5

  2. בכל אורך

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ב, אביב

• 5 ולא 7

  כמה מספרים מ - 1 עד 100 (כולל) מתחלקים ב -5 אבל לא מתחלקים ב-7?
   

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 6

• שאלה

  נתונים n,a,b טבעיים ככה ש`3n+1=a^2` וגם `4n+1=b^2` הוכיחו כי

  א. n מתחלק ב 8 (קל יותר)

  ב. n מתחלק ב 56

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 5

• שאלה

  נתון מצולע משוכלל בעל n קודקודים. חשבו את כמות המשולשים השונים (לא חופפים) שקודקודיהם מתלכדים עם קודקודי המצולע

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 4 שאלה 3

• מי המספר?

  מצאו מספר תלת ספרתי, שאם נוסיף לו 1, הוא יתחלק ב-7, אם נוסיף לו 2, הוא יתחלק ב-8, ואם נוסיף לו 3, הוא יתחלק ב-9

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 4

• שאלה

  נתבונן בכל המספרים מ-1 עד 4242. מצאו את ההפרש בין כמות המספרים האי זוגיים שמתחלקים ב-3
  לבין כמות המספרים שמתחלקים ב-7בתחום זה.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 5

• פומבה והסוכריות

  לפומבה יש 11 סוכריות שוקולד ו-13 סוכריות טופי. בכל פעם הוא יכול לאכול או שתי סוכריות מסוגים שונים,
  או שלוש סוכריות מאותו הסוג. מה הוא המספר הגדול ביותר של סוכריות שפומבה יוכל לאכול לפי הכללים האלה?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 6