תורת המספרים

תורת המספרים היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות של מספרים שלמים. נושאים כוללים מספרים ראשוניים, חלוקה, קונגרואנציות (חשבון מודולרי), משוואות דיופנטיות ופונקציות של מספרים שלמים. שאלות דורשות לעיתים קרובות חשיבה אנליטית ויצירתית על מספרים.

מספרים ראשוניים משפט השאריות הסיני חשבון השאריות המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית מספרים משולשיים חלוקה

• שאלה

  המספרים מ-`1` עד `2n` רשומים בשורה בסדר כלשהו. מוסיפים לכל מספר את אינדקס המקום עליו הוא עומד. הוכיחו כי בין `2n` הסכומים שקיבלנו יש שניים שהפרש שלהם מתחלק ב-`2n`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• 777

  מהי הספרה האחרונה של המספר `777^777`?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות

• שאלה

  מהי הספרה האחרונה של המספר `43^43-17^17`?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות

• שאלה

  האם קיים ריבוע שלם שמסתיים בספרות `...2017`?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  נתונים מספרים טבעיים m,n כך ש`m/n <= sqrt 23` הוכיחו כי `m/n+3/{mn} <= sqrt 23`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 4

• סכומי עצרות

  עבור כל מספר שלם חיובי n נסמן `n! = 1*2*3*...*n`

  מצאו את כל המספרים השלמים n כך שהסכום `1! + 2! + 3! + ... + n!` הוא ריבוע של מספר שלם.

  (פורמט פתרון: a,b,c,... כלומר שלושת המספרים הקטנים ביותר מופרדים בפסיקים ללא רווחים, ושלוש נקודות אחרי אם יש יותר פתרונות)

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2022, בוגרים שאלה 1

• חילוק סופי

  מצאו את כל ה x,y,z,w השלמים שמקיימים `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025, מטלה 1 שאלה 5

• נחלק ב-13

  על דף נייר רושמים את כל המספרים הטבעיים בין 1 ל 2006, ומבצעים סדרת פעולות כמתואר להלן. בכל שלב מוחקים מספר כלשהו של מספרים מהרשימה ומסמנים את סכומם ב S. במקום המספרים שנמחקו מוסיפים מספר יחיד שהוא השארית המתקבלת מהחלוקה של S ב 13. לאחר מספר כלשהו של צעדים כאלו נותרו על הנייר שני מספרים בלבד. אחד מהם הוא 100. מצא את המספר השני.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 2

• התמיהה של המיליונר

  למר מורגן ג. בלומגרטן, המיליונר, הידוע במדינות כמלך הצדפות, היו, בשל חטאיו, יותר כסף ממה שידע מה לעשות איתו. זה שיעמם אותו. אז הוא החליט לרדות בכמה מחבריו העניים אך המאושרים עם זה. הם מעולם לא עשו לו שום נזק, אבל הוא החליט לחסן אותם עם "מקור כל הרוע". לכן הציע לחלק מיליון דולר ביניהם ולצפות בהם הולכים במהירות למצב רע. אבל הוא היה איש של פנטזיות ואמונות טפלות מוזרות, וזה היה כלל בלתי מעורער מבחינתו לעולם לא לתת מתנה שהיא לא דולר אחד או חזקה כלשהי של שבע—כגון `7, 49, 343, 2,401`, שמספרי הדולרים האלה מיוצרים פשוט על ידי הכפלת שביעיות יחד. כלל נוסף שלו היה שהוא לעולם לא ייתן ליותר משישה אנשים בדיוק את אותו סכום. עכשיו, איך הוא היה אמור לחלק את `1,000,000` הדולרים? אתה יכול לחלק את הכסף בין כמה אנשים שאתה רוצה, בתנאים הנתונים.
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 16

• לתפוס את העכברים

   

  "שחקו честно!" אמרו העכברים. "אתם מכירים את חוקי המשחק."

  "כן, אני מכיר את החוקים," אמר החתול. "אני צריך להסתובב במעגל, בכיוון שבו אתם מסתכלים, ולאכול כל עכבר שלושה-עשר, אבל אני חייב לשמור את העכבר הלבן לפינוק בסוף. שלושה עשר הוא מספר חסר מזל, אבל אעשה כמיטב יכולתי להיענות לבקשתכם."

  "תזדרז אם כן!" צעקו העכברים.

  "תנו לבחור זמן לחשוב," אמר החתול. "אני לא יודע באיזה מכם להתחיל. אני חייב להבין את זה.

  "בזמן שהחתול פתר את החידה הוא נרדם, וכך הכישוף נשבר, והעכברים חזרו הביתה בשלום. באיזה עכבר היה צריך החתול להתחיל לספור כדי שהעכבר הלבן יהיה האחרון שנאכל?

  כאשר הקורא פתר את החידה הקטנה הזו, הנה חידה שנייה בשבילו. מהו המספר הקטן ביותר שהחתול יכול לספור סביב המעגל, אם הוא חייב להתחיל בעכבר הלבן (לקרוא לזה "אחד" בספירה) ועדיין לאכול את העכבר הלבן אחרון מכולם?

  וכחידה שלישית נסו לגלות מהו המספר הקטן ביותר שהחתול יכול לספור סביב אם הוא חייב להתחיל בעכבר הלבן (לקרוא לזה "אחד") ולהפוך את העכבר הלבן לשלישי שנאכל.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 232