אריתמטיקה

אריתמטיקה היא ענף יסודי במתמטיקה העוסק במספרים ובפעולות הבסיסיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק. שאלות כוללות ביצוע פעולות אלו, הבנת תכונות מספרים (כמו שלמים, שברים, עשרוניים) ופתרון בעיות מילוליות קשורות.

שברים אחוזים חילוק עם שארית

  • שלושת השעונים

    ביום שישי, ה-`1` באפריל `1898`, שלושה שעונים חדשים כוונו והופעלו בדיוק באותו הזמן - שתים עשרה בצהריים. בצהרי היום שלמחרת התגלה ששעון A שמר על דיוק מושלם, שעון B הקדים בדיוק בדקה אחת וששעון C איחר בדיוק בדקה אחת. כעת, בהנחה שהשעונים B ו-C לא כוונו מחדש, אלא שלושתם המשיכו לפעול כפי שהתחילו, ושמרו על אותו קצב התקדמות ללא עצירה, באיזה תאריך ובאיזו שעה ביום יצביעו שלושת זוגות המחוגים שוב באותו הרגע על השעה שתים עשרה? מקורות:

  • רכיבה על חמור

    במהלך ביקור בחוף הים, טומי ואוונג'לין התעקשו לערוך מרוץ חמורים לאורך מסלול של מייל אחד על החול. מר דובסון וכמה מחבריו שפגש על החוף שימשו כשופטים, אך מכיוון שהחמורים היו מכרים מוכרים וסירבו להיפרד לאורך כל הדרך, תיקו היה בלתי נמנע. עם זאת, השופטים, שהוצבו בנקודות שונות במסלול, שסומן ברבעי מיילים, רשמו את התוצאות הבאות: – שלושת הרבעים הראשונים רצו בשש ושלושת רבעי דקות, חצי המייל הראשון לקח את אותו הזמן כמו החצי השני, והרבע השלישי רץ בדיוק באותו הזמן כמו הרבע האחרון. מתוצאות אלו, מר דובסון שעשע את עצמו בגילוי בדיוק כמה זמן לקח לשני החמורים האלה לרוץ את כל המייל. האם תוכל לתת את התשובה? מקורות:

  • חבית הבירה

    אדם קנה כמות מוזרה של יין בחביות וחבית אחת המכילה בירה. אלה מוצגים באיור, המסומנים במספר הגלונים שכל חבית הכילה. הוא מכר כמות מהיין לאדם אחד וכמות כפולה לאחר, אך שמר את הבירה לעצמו. החידה היא לציין איזו חבית מכילה בירה. האם אתה יכול לומר איזו מהן זו? כמובן, האיש מכר את החביות בדיוק כפי שקנה אותן, מבלי לתפעל בשום צורה את התכולה. מקורות:

  • ספרות וריבועים

    ניתן לראות בתרשים שסידרנו את תשע הספרות בריבוע כך שהמספר בשורה השנייה גדול פי שניים מהמספר בשורה הראשונה, והמספר בשורה התחתונה גדול פי שלושה מהמספר בשורה העליונה. ישנן שלוש דרכים נוספות לסדר את הספרות כך שיתקבל אותו פתרון. האם תוכלו למצוא אותן? מקורות:

  • חידת הלוקרים

     

    לאיש היו במשרדו שלושה ארונות, שבכל אחד מהם תשעה לוקרים, כפי שמוצג בדיאגרמה. הוא הורה לפקיד שלו להציב ספרה שונה על כל לוקר בארון A, ולעשות את אותו הדבר בארון B ובארון C. מכיוון שמותר לנו כאן לקרוא לאפס ספרה, ולא נאסר עליו להשתמש באפס כמספר, ברור שהייתה לו האפשרות להשמיט כל אחת מעשר הספרות מכל ארון.

    כעת, המעסיק לא אמר שהלוקרים ימוספרו בסדר מספרי כלשהו, והוא הופתע לגלות, לאחר שהעבודה הסתיימה, שהספרות כנראה עורבבו באופן אקראי. כשקרא לפקיד שלו להסבר, הנער האקסצנטרי הצהיר שהעלתה בדעתו המחשבה לסדר את הספרות כך שבכל מקרה הן יצרו תרגיל חיבור פשוט, כאשר שתי השורות העליונות של הספרות יוצרות את הסכום בשורה התחתונה. אבל הנקודה המפתיעה ביותר הייתה זו: שהוא סידר אותן כך שהחיבור ב-A נתן את הסכום הקטן ביותר האפשרי, שהחיבור ב-C נתן את הסכום הגדול ביותר האפשרי, וכי כל תשע הספרות בסך הכל בשלושת הסכומים היו שונות. החידה היא להראות כיצד ניתן לעשות זאת. אין לאפשר עשרונים והאפס אינו יכול להופיע במקום המאות.

    מקורות:

  • שלוש הקבוצות

    בכתב העת "Nouvelles Annales de Mathématiques" הופיעה החידה הבאה כשינוי לאחת מ"חידות קנטרברי" שלי. סדר את תשע הספרות בשלוש קבוצות של שתיים, שלוש וארבע ספרות, כך ששני המספרים הראשונים כאשר מכפילים אותם זה בזה יוצרים את השלישי. לדוגמה, `12` × `483` = `5,796`. אני מציע כעת לכלול גם את המקרים שבהם יש ספרה אחת, ארבע וארבע ספרות, כגון `4` × `1,738` = `6,952`. האם תוכל למצוא את כל הפתרונות האפשריים בשני המקרים? מקורות:

  • תשעת האסימונים

    יש לי תשעה אסימונים, שעל כל אחד מהם רשומה אחת מתשע הספרות, `1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8` ו-`9`. סידרתי אותם על השולחן בשתי קבוצות, כפי שניתן לראות באיור, כך שייצרו שני תרגילי כפל, וגיליתי ששני התרגילים נתנו את אותה מכפלה. תגלו ש-`158` כפול `23` זה `3,634`, וגם `79` כפול `46` זה `3,634`. עכשיו, החידה שאני מציע היא לסדר מחדש את האסימונים כך שנקבל את המכפלה הגדולה ביותר האפשרית. מה הדרך הטובה ביותר למקם אותם? זכרו ששתי הקבוצות חייבות להכפיל לאותה כמות, וחייבים להיות שלושה אסימונים כפול שניים במקרה אחד, ושניים כפול שני אסימונים במקרה השני, בדיוק כמו עכשיו. מקורות:

  • עשרת המונים

    במקרה זה אנו משתמשים באפס בנוסף ל-`1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9`. החידה היא, כבמקרה הקודם, לסדר את עשרת המונים כך שמכפלות שני הכפל יהיו זהות, ואפשר שיהיו ספרה אחת או יותר במכפיל, כרצונך. האמור לעיל הוא הישג קל מאוד; אך נדרש גם למצוא את שני הסידורים הנותנים זוגות של המכפלות הגבוהות והנמוכות ביותר האפשריות. כמובן שיש להשתמש בכל מונה, ולא ניתן למקם את הספרה אפס משמאל לשורת ספרות כאשר אין לה השפעה. שברים פשוטים או עשרוניים אינם מותרים. מקורות:

  • כפל ספרותי

    הנה בעיה משעשעת נוספת עם תשע הספרות, כאשר הספרה אפס אינה נכללת. באמצעות כל ספרה פעם אחת בלבד, אנו יכולים ליצור שני תרגילי כפל בעלי מכפלה זהה, וניתן לעשות זאת בדרכים רבות. לדוגמה, 7x658 ו-14x329 מכילים את כל הספרות פעם אחת, והמכפלה בכל מקרה זהה - `4,606`. כעת, ניתן לראות שסכום הספרות במכפלה הוא `16`, שאינו הסכום הגבוה או הנמוך ביותר שניתן להשיג. האם תוכלו למצוא את הפתרון לבעיה שנותן את הסכום הנמוך ביותר האפשרי של ספרות במכפלה המשותפת? וגם את זה שנותן את הסכום הגבוה ביותר האפשרי? מקורות:

  • החידה של פיירו

    פיירו באיור עומד בתנוחה המייצגת את סימן הכפל. הוא מצביע על העובדה המוזרה ש-`15` כפול `93` מניב בדיוק את אותן הספרות (`1,395`), אך מסודרות באופן שונה. החידה היא לקחת ארבע ספרות כלשהן שתרצו (כולן שונות) ולסדר אותן באופן דומה, כך שהמספר שנוצר מצד אחד של פיירו כאשר הוא מוכפל במספר בצד השני יפיק את אותן הספרות. ישנן דרכים מעטות מאוד לעשות זאת, ואני אתן את כל המקרים האפשריים. האם תוכלו למצוא את כולם? מותר לכם לשים שתי ספרות בכל צד של פיירו כמו בדוגמה המוצגת, או למקם ספרה בודדת בצד אחד ושלוש ספרות בצד השני. אם היינו משתמשים רק בשלוש ספרות במקום בארבע, הדרכים האפשריות היחידות הן אלה: `3` כפול `51` שווה ל-`153`, ו-`6` כפול `21` שווה ל-`126`. מקורות: