אריתמטיקה

אריתמטיקה היא ענף יסודי במתמטיקה העוסק במספרים ובפעולות הבסיסיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק. שאלות כוללות ביצוע פעולות אלו, הבנת תכונות מספרים (כמו שלמים, שברים, עשרוניים) ופתרון בעיות מילוליות קשורות.

• החידה של הפקיד הזוטר

  שני צעירים, שנשאו את השמות הנעימים מוגס וסנוגס, הועסקו כפקידים זוטרים על ידי סוחר במינסינג ליין. שניהם הועסקו באותו שכר—כלומר, החל משיעור של £`50` לשנה, לתשלום חצי שנתי. למוגס הייתה עלייה שנתית של £`10`, ולסנוגס הוצע אותו הדבר, רק שהוא ביקש, מסיבות שאינן נוגעות לחידה שלנו, שהוא יוכל לקבל את העלייה שלו ב£`2, 10`s. חצי שנתי, שלכך המעסיק שלו (אולי, באופן טבעי!) לא התנגד.

  כעת אנו מגיעים לנקודה האמיתית של החידה. מוגס הכניס בקביעות לבנק הדואר סכום מסוים ממשכורתו, בעוד סנוגס חסך פי שניים חלק גדול יותר ממשכורתו, ובסוף חמש שנים הם חסכו ביחד £`268, 15`s. כמה חסך כל אחד? ניתן להתעלם משאלת הריבית.

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> אחוזים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 26

• שאלה

  אבי גר בדירה מספר `45`. באיזו קומה נמצאת הדירה, אם בביתו של אבי בקומה ראשונה יש `2` דירות, ובכל קומה אחרת יש `4` דירות? (הערה: אין בבית קומה `0`)

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  מצאו את כל המספרים הטבעיים בעלי התכונה הבאה: אם נחלק אותם ב-7 עם שארית, השארית תהיה שווה למנה.

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> אי שוויונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  הוכיחו כי מבין חמישה מספרים שלמים ניתן לבחור שניים שהפרש שלהם מתחלק ב-`4`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  בבית של אלה שלוש כניסות ו-`13` קומות (מ-`0` עד `12`, והדירות נמצאות בכל הקומות חוץ מקומת קרקע). בכל כניסה, בכל קומה חמש דירות. אלה גרה בדירה מספר `73`. באיזו כניסה ובאיזו קומה היא גרה?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות תורת המספרים -> חלוקה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  אבי הזמין אורחים. הם יודעים שהוא גר בדירה `333`, בכניסה מספר `10`, אבל הם לא יודעים באיזו קומה. בבניין יש `9` קומות, וידוע שבכל קומה יש מספר שווה של דירות. ברצונם של האורחים להשתמש במעלית. האם הם יכולים לחשב מראש, איזו קומה במעלית הם צריכים ללחוץ?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  נתונים שני מספרים כך שאחד מהם מתקבל מהשני על ידי שינוי סדר ספרות. הוכיחו כי ההפרש שלהם מתחלק ב-`9`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  האם יש פתרון בטבעיים למשוואה `x^2 + 12 = y^3` כך ש

  א. x זוגי (קל יותר)

  ב. x אי זוגי

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 6

• בול עץ

  ברשותכם בול עץ ארוך מאוד. האם תוכלו למדוד ממנו מטר אחד בדיוק,אם יש לכם לצורך זה
  א. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 40 סנטימטרים,
  ב. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 30 סנטימטרים,

  במידה ואין לכם שום כלי מדידה נוספים? נמקו!

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 7
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 2

• מספרים עוקבים ומחיקה

  יוסי רשם על הלוח 10 מספרים טבעיים עוקבים. דני מחק אחד מהמספרים. סכום המספרים שנשארו על הלוח שווה ל- 2020.
  איזה מספר נמחק?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ז-ח שאלה 5