אריתמטיקה

אריתמטיקה היא ענף יסודי במתמטיקה העוסק במספרים ובפעולות הבסיסיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק. שאלות כוללות ביצוע פעולות אלו, הבנת תכונות מספרים (כמו שלמים, שברים, עשרוניים) ופתרון בעיות מילוליות קשורות.

שברים אחוזים חילוק עם שארית

  • משולשי קלפים

    כאן עליך לבחור את תשעת הקלפים, אס עד תשע יהלומים, ולסדר אותם בצורת משולש, בדיוק כפי שמוצג באיור, כך שהנקודות יסתכמו לאותו דבר בכל שלושת הצדדים. בדוגמה הנתונה ניתן לראות שהם מסתכמים ל-`20` בכל צד, אך למספר המסוים אין חשיבות כל עוד הוא זהה בכל שלושת הצדדים. החידה היא לגלות בכמה דרכים שונות ניתן לעשות זאת.

    אם פשוט תסובב את הקלפים כך שאחד משני הצדדים האחרים יהיה הכי קרוב אליך, זה לא ייחשב שונה, כי הסדר יהיה זהה. כמו כן, אם תחליף את המקומות של `4, 9, 5` עם `7, 3, 8`, ובאותו הזמן תחליף את `1` ו-`6`, זה לא יהיה שונה. אבל אם רק תחליף את `1` ו-`6`, זה יהיה שונה, כי הסדר סביב המשולש אינו זהה. הסבר זה ימנע כל ספק לגבי התנאים.

    מקורות:

  • טריק עם קוביות

    הנה טריק קטן ונחמד עם שלוש קוביות. אני מבקש ממך לזרוק את הקוביות מבלי שאראה אותן. לאחר מכן אני אומר לך להכפיל את הנקודות של הקוביה הראשונה ב-`2` ולהוסיף `5`; ואז להכפיל את התוצאה ב-`5` ולהוסיף את הנקודות של הקוביה השנייה; ואז להכפיל את התוצאה ב-`10` ולהוסיף את הנקודות של הקוביה השלישית. לאחר מכן אתה נותן לי את הסכום הכולל, ואני יכול מיד לומר לך את הנקודות שנזרקו בשלוש הקוביות. איך אני עושה את זה? לדוגמה, אם זרקת `1, 3`, ו-`6`, כפי שמוצג באיור, התוצאה שהיית נותן לי תהיה `386`, שממנה אוכל מיד לומר מה זרקת. מקורות:

  • רצועות הקסם

     

    קרה שהיו מונחות על השולחן שלי מספר רצועות קרטון, ועליהן מודפסים מספרים מ-`1` ומעלה בסדר עולה. עלה בי הרעיון לפתע, כפי שלרעיונות יש נטייה להופיע באופן בלתי צפוי, ליצור חידה קטנה. אני תוהה אם קוראים רבים יגיעו לאותו פתרון שאני הגעתי אליו.

    קחו שבע רצועות קרטון והניחו אותן יחד כפי שמוצג לעיל. לאחר מכן כתבו על כל אחת מהן את המספרים `1, 2, 3, 4, 5, 6, 7`, כפי שמוצג, כך שהמספרים ייצרו שבע שורות ושבע עמודות.

    כעת, החידה היא לחתוך את הרצועות הללו למספר המועט ביותר של חלקים, כך שניתן יהיה להניח אותם יחד וליצור ריבוע קסם, כאשר שבע השורות, שבע העמודות ושני האלכסונים מסתכמים לאותו מספר. אסור להפוך או להניח אף ספרה על צידה — כלומר, כל הרצועות חייבות להיות מונחות בכיוון המקורי שלהן.

    כמובן שאפשר לחתוך כל רצועה לשבעה חלקים נפרדים, כאשר כל חלק מכיל מספר, והחידה תהיה קלה מאוד, אבל אני לא צריך לומר שארבעים ותשעה חלקים רחוקים מאוד מלהיות המספר המועט ביותר האפשרי.

    מקורות:

  • החידה בצורת "T" של המנדרין

     

    לפני שמארג׳וריבנקס בושאמפ צ׳ולמונדלי יצא לסיורו במזרח הרחוק, הוא התגאה בידע שלו בריבועים קסומים, נושא שהפך לתחביב מיוחד שלו; אבל עד מהרה הוא גילה שמעולם לא נגע יותר מאשר בשולי הנושא, ושצ׳יני ערמומי יכול לנצח אותו בקלות. אני מציג בעיה קטנה שמנדרין מלומד הציג למטייל שלנו, כפי שמצויר בעמוד האחרון.

    הסיני, לאחר שהעיר שהבנייה של ריבוע קסם רגיל של עשרים וחמישה תאים היא "too velly muchee easy," ביקש מבן ארצנו למקם את המספרים `1` עד `25` בריבוע כך שכל עמודה, כל שורה וכל אחד משני האלכסונים יסתכמו ל-`65`, כאשר רק מספרים ראשוניים נמצאים על ה-"T" המוצלל. כמובן שהמספרים הראשוניים הזמינים הם `1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19`, ו-`23`, כך שיש לך חופש לבחור כל תשעה מהם שישרתו את מטרתך. האם אתה יכול לבנות את ריבוע הקסם הקטן והסקרן הזה?

    מקורות:

  • טבעות הברזל המייגעות

     

    האיור מייצג אחד מהחידות המכאניות העתיקות ביותר. מקורו אינו ידוע. קרדנו, המתמטיקאי, כתב עליו בשנת `1550`, וואליס בשנת `1693`; בעוד שאומרים שהוא עדיין נמצא בכפרים אנגליים נידחים (לפעמים מונח במקומות מוזרים, כמו מגדל פעמונים של כנסייה), עשוי מברזל, ונקרא באופן הולם "טבעות מייגעות", ומשמש את הנורווגים כיום כמנעול לקופסאות ותיקים. בחנויות הצעצועים הוא נקרא לפעמים "טבעות סיניות", אם כי נראה שאין סמכות לתיאור, ולרוב הוא מכונה בשם הלא מספק "הטבעות המבלבלות". הצרפתים קוראים לזה "Baguenaudier."

    ניתן לראות שהחידה מורכבת מ-לולאה פשוטה של חוט המקובעת בידית שאותה מחזיקים ביד שמאל, וממספר מסוים של טבעות המאובטחות על ידי חוטים העוברים דרך חורים ב-מוט ונשמרים שם על ידי קצותיהם הקהים. החוטים פועלים בחופשיות במוט, אך אינם יכולים להיפרד ממנו, וגם לא ניתן להסיר את החוטים מהטבעות. החידה הכללית היא לנתק את הלולאה לחלוטין מכל הטבעות, ואז להחזיר את כולן שוב.

    כעת, ניתן לראות במבט חטוף שניתן להסיר את הטבעת הראשונה (מימין) בכל עת על ידי החלקתה מעל הקצה והשלכתה דרך הלולאה; או שאפשר להחזיר אותה על ידי היפוך הפעולה. מלבד זאת, הטבעת היחידה שניתן להסיר אי פעם היא זו שבמקרה נמצאת השנייה הסמוכה על הלולאה בקצה הימני. כך, כשכל הטבעות עליה, ניתן להפיל את השנייה מיד; כשהטבעת הראשונה למטה, אינך יכול להפיל את השנייה, אך תוכל להסיר את השלישית; כששלוש הטבעות הראשונות למטה, אינך יכול להפיל את הרביעית, אך תוכל להסיר את החמישית; וכן הלאה. יתברר שאפשר להפיל את הטבעות הראשונה והשנייה יחד או להחזיר אותן יחד; אך כדי למנוע בלבול, לא נאפשר את המהלך הכפול החריג הזה, ונגיד שניתן להחזיר או להסיר רק טבעת אחת בכל פעם.

    אנו יכולים להסיר טבעת אחת ב-`1` מהלך; שתי טבעות ב-`2` מהלכים; שלוש טבעות ב-`5` מהלכים; ארבע טבעות ב-`10` מהלכים; חמש טבעות ב-`21` מהלכים; ואם נמשיך להכפיל (ולהוסיף אחד כאשר מספר הטבעות הוא אי-זוגי) נוכל לברר בקלות את מספר המהלכים להסרת כל מספר טבעות לחלוטין. כדי להוריד את כל שבע הטבעות נדרשים `85` מהלכים. בואו נסתכל על חמשת המהלכים שנעשו בהסרת שלוש הטבעות הראשונות, העיגולים מעל הקו מייצגים טבעות על הלולאה ואלה שמתחת מייצגים טבעות מחוץ ללולאה.

    הפילו את הטבעת הראשונה; הפילו את השלישית; הרימו את הראשונה; הפילו את השנייה; והפילו את הראשונה—`5` מהלכים, כפי שמוצג בבירור בתרשימים. העיגולים הכהים מראים בכל שלב, ממצב ההתחלה ועד הסיום, אילו טבעות אפשר להפיל. לאחר מהלך `2` יורגש שלא ניתן להפיל אף טבעת עד שאחת תוחזר, מכיוון שהטבעות הראשונה והשנייה מימין שנמצאות כעת על הלולאה אינן יחד. לאחר המהלך החמישי, אם ברצוננו להסיר את כל שבע הטבעות, עלינו כעת להפיל את החמישית. אבל לפני שנוכל להסיר אז את הרביעית, יש צורך להחזיר את שלוש הראשונות ולהסיר את שתי הראשונות. אז יהיו לנו `7, 6, 4, 3` על הלולאה, ולכן נוכל להפיל את הרביעית. כשנחזיר `2` ו-`1` ונסיר `3, 2, 1`, נוכל להפיל את הטבעת השביעית. הפעולה הבאה אז תהיה להשיג `6, 5, 4, 3, 2, 1` על הלולאה ולהסיר `4, 3, 2, 1`, ואז `6` תרד; ואז להשיג `5, 4, 3, 2, 1` על הלולאה, ולהסיר `3, 2, 1`, ואז `5` תרד; ואז להשיג `4, 3, 2, 1` על הלולאה ולהסיר `2, 1`, ואז `4` תרד; ואז להשיג `3, 2, 1` על הלולאה ולהסיר `1`, ואז `3` תרד; ואז להשיג `2, 1` על הלולאה, ואז `2` תרד; ו-`1` תיפול דרך במהלך ה-85, ותשאיר את הלולאה חופשית לחלוטין. על הקורא להיות מסוגל כעת להבין את החידה, בין אם יש לו אותה ביד בצורה מעשית ובין אם לא.

     

    הבעיה המסוימת שאני מציע היא פשוט זו. נניח שיש בסך הכל ארבע עשרה טבעות על טבעות הברזל המייגעות, ואנו ממשיכים להסיר את כולן בצורה הנכונה כדי לא לבזבז אף מהלך. מה יהיה מצב הטבעות לאחר שבוצע המהלך ה-`9`,999?

    מקורות:

  • עלייה במדרגות כזו

    בווילה פרברית יש גרם מדרגות קטן עם שמונה מדרגות, לא כולל משטח הנחיתה. החידה הקטנה שבה טומי סמארט הדהים את משפחתו היא זו. עליכם להתחיל מלמטה ולנחות פעמיים על הרצפה מעל (ולעצור שם בסיום), לאחר שחזרתם פעם אחת לקומת הקרקע. אבל עליכם להקפיד להשתמש בכל מדרגה אותו מספר פעמים. בכמה צעדים מעטים תוכלו לבצע את העלייה? זה נראה עניין פשוט מאוד, אבל סביר להניח שבניסיון הראשון שלכם תעשו הרבה יותר צעדים מהנדרש. כמובן שאסור לכם לעלות יותר ממדרגה אחת בכל פעם.

    טומי מכיר את הטריק, והראה אותו לאביו, שמצהיר על בוז לדברים כאלה; אבל כשהילדים במיטה, האב לוקח לעתים קרובות חברים למסדרון ונהנה מצחוק טוב על הבלבול שלהם. ובכל זאת, הכל כל כך פשוט כשאתה יודע איך זה נעשה.

    מקורות:

  • חידת שרשרת

    זוהי חידה המבוססת על רעיון נחמד שבו עסק לראשונה מר סם לויד המנוח. לאיש היו תשעה חלקי שרשרת, כפי שמוצג באיור. הוא רצה לחבר את חמישים החוליות האלה לשרשרת אינסופית אחת. יעלה פרוטה לפתוח כל חוליה ושתי פרוטות לרתך חוליה בחזרה, אבל הוא יכול לקנות שרשרת אינסופית חדשה באותו אופי ואיכות עבור `2`s. `2`d. מה היה המהלך הזול ביותר עבורו? אלא אם כן הקורא ערמומי הוא עלול למצוא את עצמו רחוק מהתשובה. מקורות:

  • הבעיה של לוח מזמורי התפילה

    ויקאר צ'אמפלי סנט וויניפרד הנכבד נמצא במצוקה רבה. קושי כנסייתי קטן התעורר, ונראה שכל האינטליגנציה המשולבת של הקהילה אינה מסוגלת להתגבר עליו. מה הקושי הזה, אספר בהמשך, אך ייתכן שיוסיף לעניין בבעיה אם אתן תחילה תיאור קצר של המצב המוזר שנוצר. הכל קשור ללוחות מזמורי התפילה של הכנסייה, שהלוחות שלהם ניזוקו כל כך שהם חדלו למלא את המטרה שלשמה הם נועדו. אחד מבני הקהילה הנדיבים הבטיח לשלם עבור סט לוחות חדש בתעריף עלות מסוים; אך מוזר ככל שזה יישמע, לא ניתן להגיע להסכמה לגבי מה צריכה להיות העלות הזו. יצרן הלוחות המוצע נקב במחיר שהתורם מכריז עליו כאבסורדי. הכומר הטוב חושב ששניהם טועים, אז הוא מבקש ממנהל בית הספר לפתור את התרגיל הקטן. אבל האינדיבידואל הזה מצהיר שהוא לא יכול למצוא שום כלל הנוגע לנושא הזה באף אחד מספרי החשבון שלו. לאחר שהוגשה בקשה לרופא המקומי, כאדם בעל אינטלקט ממוצע ומעלה בצ'אמפלי, הוא הבטיח לכומר שהפרקטיקה שלו כה כבדה שאין לו זמן אפילו להסתכל על כך, אם כי עוזרו לוחש שהרופא יושב ער בצורה יוצאת דופן במשך כמה לילות האחרונים. לאלמנה וילסון יש בן חכם, ששמועה אומרת שזכה פעם בפרס על פתרון חידות. הוא טוען מכיוון שהוא לא יכול למצוא שום פתרון לבעיה, זה חייב להיות קשור לריבוע המעגל, הכפלת הקוביה או חלוקת זווית לשלושה; בכל אופן, הוא מעולם לא ראה בעבר חידה על העיקרון, והוא מוותר.

     

    זה היה מצב העניינים כאשר עוזר הכומר (ש, אני חייב לומר, הודה בכנות מההתחלה שמחקר מעמיק בתאולוגיה הוציא מראשו את כל הידע במתמטיקה שהיה לו אי פעם) שלח לי בחביבות את החידה.

    לכנסייה יש שלושה לוחות מזמורים, כל אחד כדי לציין את המספרים של חמישה מזמורים שונים שיש לשיר בתפילה. כל הלוחות נמצאים בשימוש באותה תפילה. ספר המזמורים מכיל `700` מזמורים. נדרש סט מספרים חדש, ואחד מבני הקהילה מציע להגיש סט צבוע על לוחות מתכת, אך מתנה שיירכשו רק המספר הקטן ביותר של לוחות הכרחיים. עלות כל לוח היא `6`d., ועבור צביעת כל לוח החיובים הם: עבור לוח אחד, `1`s.; עבור שני לוחות דומים, `11`¾d. כל אחד; עבור שלושה לוחות דומים, `11`½d. כל אחד, וכן הלאה, כאשר התשלום הוא פרוטה אחת פחות ללוח עבור כל לוח צבוע באופן דומה. עכשיו, מה צריכה להיות העלות הנמוכה ביותר?

    הקוראים ישימו לב שעליהם להשתמש בכל שיטה לגיטימית ומעשית של חיסכון. האיור יבהיר את אופיים של שלושת לוחות המזמורים והלוחות. חמשת המזמורים מצוינים כאן באמצעות שנים עשר לוחות. לוחות אלה מחליקים בנפרד מאחור, ובאיור יש מקום, כמובן, לשלושה לוחות נוספים.

    מקורות:

  • הגנן והטבחית

    כתב לי כתב שכינה את עצמו "סיימון הפשוט", והציע שאציג חידת תחבולה מיוחדת בגיליון של השבועון ליום השוטים הבינלאומי, `1900`. אז נתתי את החידה הבאה, והיא גרמה לשעשוע רב; מתוך קהל מתחרים גדול מאוד, רבים מהם מומחים למדי, אף אדם לא פתר אותה, למרות שהיא רצה כמעט חודש.

     

    "האיור הוא סקיצה דמיונית של הכתב שלי, 'סיימון הפשוט,' מנסה לפתור את החידה האריתמטית הקטנה והתמימה הבאה. מרוץ בין גבר לאישה שהייתי עד לו באחד מיום השוטים הבינלאומי נחקק בזיכרוני. זה קרה באחוזה כפרית, שם הגנן והטבחית החליטו לרוץ לתחרות לנקודה במרחק של `100` רגל ישר וחזרה. גיליתי שהגנן רץ `3` רגל בכל צעד והטבחית רק `2` רגל, אבל אז היא עשתה שלושה צעדים לשני הצעדים שלו. עכשיו, מה הייתה תוצאת המירוץ?"

    שבועיים לאחר הפרסום הוספתי את ההערה הבאה: "הועלתה ההצעה שאולי יש תחבולה ב'חזרה', אבל אין כזו. המירוץ הוא לנקודה במרחק `100` רגל וחזרה הביתה—כלומר, מרחק של `200` רגל. כתב אחד שואל האם לוקח להם בדיוק אותו זמן להסתובב, ואני משיב שכן. נראה שאחר חושד שזה בעצם חידה, והתשובה היא ש'תוצאת המירוץ הייתה תיקו (נישואין)'. אבל לא הייתה לי כוונה כזו. החידה היא אריתמטית, כפי שהיא מתיימרת להיות."

    מקורות:

  • שאלה

    שביעית מהמתמטיקאים הם פילוסופים, ותשיעית מהפילוסופים הם מתמטיקאים. מה יש יותר – פילוסופים או מתמטיקאים?

    מקורות: