אריתמטיקה

אריתמטיקה היא ענף יסודי במתמטיקה העוסק במספרים ובפעולות הבסיסיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק. שאלות כוללות ביצוע פעולות אלו, הבנת תכונות מספרים (כמו שלמים, שברים, עשרוניים) ופתרון בעיות מילוליות קשורות.

• שאלה

  נתונה הסדרה `1 , 1/2 ,1/3 ,1/4 ,1/5,...`, האם קיימת סדרה חשבונית שמורכבת מאיברי הסדרה הנ"ל

  1. באורך 5

  2. בכל אורך

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ב, אביב

• שאלה

  נתבונן בכל המספרים מ-1 עד 4242. מצאו את ההפרש בין כמות המספרים האי זוגיים שמתחלקים ב-3
  לבין כמות המספרים שמתחלקים ב-7בתחום זה.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 5

• חילוק ארוך

  חשבו את ערך הביטוי ורשמו אותו כשבר עשרוני:

  `1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1))))`

  נושאים:

  אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 7

• כבשים וגמלים

  לשמואל יש עדר בו 9 כבשים ו-5 גמלים. הוא רוצה לחלק את העדר בין שני בניו, יוסי ודני, כך שכל אחד מהם יקבל חלק שווה ערך.
  ידוע כי 7 כבשים עולות כמו 3 גמלים. כיצד יכול שמואל לחלק את העדר בין שני בניו שווה בשווה, בלי למכור אף חיה?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 5
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 1

• מספרים על הלוח

  על הלוח כתובים המספרים:`1/3,1/2,1,2,3` . בכל מהלך מותר לבחור שני מספרים כלשהם הכתובים על הלוח ולהחליף את כל אחד מהם במכפלתם.
  האם תוכלו להגיע באופן זה לחמישיית מספרים שסכומם `4 1/4`

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> שברים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, גמר, כיתות ה-ו שאלה 6

• שברים קסומים

  נקרא לשבר קסום, אם המונה והמכנה שלו קטנים מ-10. למשל, השבר `1/9` נחשב קסום, גם השבר `6/8` קסום, השבר `3/14` לא קסום.
  כמה שברים קסומים יש, שגדולים מחצי וקטנים מ-1?

  הערה: לצורך השאלה `2/3` ו `4/6` נחשבים שברים שונים.

  נושאים:

  אריתמטיקה -> שברים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 6

• חוגי הילדים

  בגן ילדים מתקיימים שלושה חוגים: ג'ודו, חקלאות ומתמטיקה. כל ילד משתתף בחוג אחד בדיוק ובכל חוג יש לפחות משתתף אחד. מספר הילדים בגן הוא 32. ביום שישי הגננת אספה 6 ילדים שיסדרו את הכיתה. הגננת ספרה וגילתה כי בדיוק חצי מתלמידי החוג לג'ודו, רבע מתלמידי החוג לחקלאות ושמינית מתלמידי החוג למתמטיקה נרתמו למשימה. כמה תלמידים יש בכל חוג?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> שברים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 1

• שאלה

  החליפו אותיות בספרות שונות מאפס, כך שתתקבל זהות נכונה. אותיות זהות מסמנות ספרות זהות, אותיות שונות – ספרות שונות; גל, גר הם מספרים דו-ספרתיים שמורכבים מספרות אלו.
  `ל / ג + ל/ר + ל/ב + ל/(רג) + ל/ (ל ג) = ל`

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות אריתמטיקה -> שברים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ח שאלה 7
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ט שאלה 6

• שאלה

  מצא את המספר השלם החיובי הקטן ביותר N, שעבורו המספר `N/2 + N/3 + N/4 + N/5 + N/6` הוא גם מספר שלם.

  נושאים:

  אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א שאלה 1

• כסף סיני

  הסינים הם אנשים מוזרים, ויש להם דרכים הפוכות משונות לעשות דברים. אומרים שהם משתמשים במסור עם לחץ כלפי מעלה במקום כלפי מטה, שהם מקציעים קרש עץ על ידי משיכת הכלי לעברם במקום לדחוף אותו, ובבניית בית הם בונים תחילה את הגג, ולאחר שהרימו אותו למקומו, ממשיכים לעבוד כלפי מטה. בכסף, המטבע של המדינה מורכב מטאלים בעלי ערך משתנה. הטאֶל נעשה דק יותר ויותר עד ש-`2,000` מהם שנערמו יחד היו פחות משלושה אינץ' בגובהם. הכסף הנפוץ מורכב ממטבעות פליז בעוביים משתנים, עם חור עגול, מרובע או משולש במרכז, כפי שמוצג באיור שלנו. אלה מושחלים על חוטים כמו כפתורים. נניח שאחד עשר מטבעות עם חורים עגולים שווים חמישה עשר צ'ינג-צ'אנגים, שאחד עשר עם חורים מרובעים שווים שישה עשר צ'ינג-צ'אנגים, ושאחד עשר עם חורים משולשים שווים שבעה עשר צ'ינג-צ'אנגים, איך יכול סיני לתת לי עודף עבור חצי כתר, תוך שימוש רק במטבעות משלושת הסוגים שהוזכרו? צ'ינג-צ'אנג אחד שווה בדיוק שני פני וארבע חלקי חמש עשרה מצ'ינג-צ'אנג.
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 25