קומבינטוריקה

קומבינטוריקה היא אמנות הספירה. היא עוסקת בבחירות, סידורים וצירופים של אובייקטים. שאלות כוללות קביעת מספר הדרכים לביצוע משימות, סידור פריטים (תמורות), או בחירת תת-קבוצות (צירופים), תוך שימוש לעיתים קרובות בעקרונות כמו עקרון המכפלה ועקרון הסכום.

עקרון שובך היונים ספירה כפולה מקדמים בינומיים ומשולש פסקל כלל המכפלה תורת הגרפים התאמות אינדוקציה תורת המשחקים גאומטריה קומבינטורית אינווריאנטים בדיקת מקרים תהליכים טבלאות מספריות צביעות

• שאלה

  כל בן אדם שחי אי פעם בכדור ארץ, ביצע מספר מסוים של לחיצות ידיים (כולל 0). הוכיחו כי כמות האנשים שביצעו מספרים אי-זוגיים של לחיצות ידיים – זוגית.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  בקודקודים של קובייה רשומים המספרים `1`, `2`, `3`, ..., `8`. הוכיחו כי קיים מקצוע של הקובייה שההפרש בין המספרים שעומדים בקצותיו לפחות `3`.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  המשחק מתבצע על מישור אינסופי. שחקן אחד מזיז את הזאב ושחקן אחר – K כבשים. לאחר מהלך של זאב אחת הכבשים עושה מהלך אחר כך שוב זאב וכך הלאה. במהלך אחד הזאב או הכבשה לא הולכים יותר ממטר אחד לכל צד. האם בכל מצב התחלתי הזאב יוכל לתפוס לפחות כבשה אחת? 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים גאומטריה -> גאומטריה במישור לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב שאלה 2

• שאלה

  ל- K חברים סיפרו באותו זמן K חדשות (לכל חבר חדשה אחת). הם מתחילים לטלפן זה לזה ולהתחלף בחדשות. כל שיחה נמשכת שעה אחת. תוך כמה זמן כל החברים יכולים לדעת את כל החדשות? התבונן במקרים: 
  א. (5 נקודות) K=64 
  ב. (10 נקודות) K=55 
  ג. (12 נקודות) K=100 
  א. אנג'אנס 

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב שאלה 4

• שאלה

  על נייר משבצות אינסופי מסומנות 6 משבצות, כמו בציור. על כמה משבצות נמצאות אבנים. במהלך אחד מותר לקחת אבן אם אין לו אבן שכנה מלמעלה ומימינה אז מותר לזרוק את האבן ולשים 2 אבנים במקומות מעל האבן ומימינה. האם נוכל לזרוק ע"י הפעולה הזו את כל האבנים ממקומות המסומנים אם במצב ההתחלתי האבנים היו: 
  א. (8 נקודות) בכל המשבצות המסומנות. 
  ב. (8 נקודות) רק במשבצת המסומנת הכי תחתונה והכי שמאלית. 

  O 
  O O 
  O O O

  מ. קונצוויץ' 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב שאלה 5

• שאלה

  בקופסה נמצאים עפרונות בשלושה צבעים: אדום, ירוק, וכחול, סך הכל `20` עפרונות. עפרונות כחולים יש פי `6` יותר מאשר עפרונות ירוקים. עפרונות אדומים יש פחות מעפרונות ירוקים. כמה עפרונות אדומים יש בקופסה?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה

  חרגול יודע לקפוץ `80` סנטימטרים קדימה או `50` סנטימטרים אחורה. האם יכול החרגול להתרחק מהנקודה ההתחלתית תוך פחות מ-`7` קפיצות  למרחק של מטר אחד ו-`70` ס"מ בדיוק?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> משפט השאריות הסיני אלגברה -> בעיות מילוליות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• עופות וגרעינים

  תשעה עופות זהים אוכלים לארוחת צהריים פחות מ-`1001` גרעינים, ועשרה עופות כאלה אוכלים לארוחת צהריים יותר מ-`1100` גרעינים. כמה גרעינים אוכל עוף אחד לארוחת צהריים?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה

• שאלה

  מצאו את כל המספרים הטבעיים בעלי התכונה הבאה: אם נחלק אותם ב-7 עם שארית, השארית תהיה שווה למנה.

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> אי שוויונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  מצאו את כל המספרים הדו ספרתיים `A` כך שריבוע של סכום ספרותיו של `A` שווה לסכום הספרות של `A^2`.

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> אי שוויונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים