גאומטריה, גאומטריה במישור, משולשים

נושא זה בוחן את התכונות, הסוגים (למשל, שווה-צלעות, שווה-שוקיים, שונה-צלעות, ישר-זווית) והמשפטים הקשורים למשולשים, שהם מצולעים יסודיים בעלי שלוש צלעות. שאלות כוללות לעיתים קרובות חישוב זוויות, אורכי צלעות, שטח, היקף ויישום משפטים ספציפיים למשולשים.

• החידה של פאפוס

  זוהי חידה מאת פאפוס, שחי באלכסנדריה בערך בסוף המאה השלישית. זהו המשפט החמישי בספר השמיני של אוספים מתמטיים שלו. אני מציג אותה בצורה שהצגתי אותה לפני כמה שנים תחת הכותרת "החידה של פאפוס", רק כדי לראות כמה קוראים יגלו שהיא מאת פאפוס עצמו. "לאבא של העלמה הקטנה יש שני פיסות קרטון מלבניות בגדלים שונים, והוא גזר פיסה משולשת מאחת מהן, כך שכאשר היא תלויה בחוט מהנקודה A היא תלויה כשהצד הארוך אופקי לחלוטין, כפי שמוצג באיור. הוא הדהים את הילדה בכך שביקש ממנה למצוא את הנקודה A על הכרטיס השני, כדי להפיק תוצאה דומה כאשר הוא נחתך ותלוי בחוט." כמובן, אסור למצוא את הנקודה על ידי גזירות ניסיון. נקודה מוזרה ויפה מעורבת בהצגת החידה הזו. האם הקורא יכול לגלות אותה?
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 199

• שאלה

  חתכו ריבוע לשלושה חלקים, ואז הרכיבו מהם משולש חד-זווית שכל צלעותיו שונות.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה

• שאלה

  שני משולשים חופפים יוצרים מגן דויד כמו שמתואר בציור. הוכיחו כי השטח המושחר שווה לשטח המקווקו.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים הוכחה ודוגמה תורת הקבוצות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים

• מחומש

  במחומש קמור `ABCDE` מתקיים: `AE=AD`, `AB=AC` ו-`angle CAD=angle ABE + angle AEB`.

  נעביר במשולש `ABE` תיכון `AM`. הוכיחו כי `AM` קטן פי שניים מהקטע `CD`.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> סיבוב
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 2 נקודות 3

• שאלה

  נתון מצולע משוכלל בעל n קודקודים. חשבו את כמות המשולשים השונים (לא חופפים) שקודקודיהם מתלכדים עם קודקודי המצולע

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 4 שאלה 3

• איפה הנקודה?

  במשושה קמור ABCDEF המשולשים
  ACE ו-BDF משוכללים וחופפים. הראו כי
  שלושת הקטעים המחברים את אמצעי
  הצלעות הנגדיות של המשושה נחתכים
  בנקודה אחת.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים גאומטריה -> ווקטורים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 3

• משולשים על קוים

  שישה משולשים שווי שוקיים חופפים הוצמדו זה לזה כמתואר בציור.
  הראו כי הנקודות C, F ו- M נמצאות על ישר אחד.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> הזזה במקביל
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 3

• שאלה

  נתון חרוט (בעל ציר סימטריה במרכזו, המאונך לבסיסו) שגובהו 6 ובסיסו הוא עיגול בעל רדיוס `sqrt2` . בתוך החרוט חסומה קובייה – היא מונחת על בסיס החרוט וכל קדקודיה העליונים נוגעים בחרוט. מצאו את אורך הצלע של הקובייה. נמקו את תשובתכם.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב אלגברה -> משוואות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> דמיון משולשים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ו שאלה 2

• שאלה

  משולש שרירותי מעבירים משיקים למעגל החסום, במקביל לצלעות המשולש. המשיקים האלה חותכים מהמשולש המקורי שלושה משולשים קטנים. הוכיחו כי סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים במשולשים האלה שווה לרדיוס המעגל החסום במשולש המקורי.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים -> משיק למעגל גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> דמיון משולשים