גאומטריה, גאומטריה במישור, מעגלים

נושא זה מכסה את תכונות המעגלים, כולל רדיוס, קוטר, היקף, שטח, מיתרים, משיקים, חותכים, קשתות וגזרות. שאלות כוללות חישובים הקשורים לאלמנטים אלו והבנת משפטים על זוויות וקטעים במעגלים.

• מעגל חסום במשולש

  בתוך משולש נמצאת נקודה P, שמרחקיה מהישרים עליהם נמצאות צלעות המשולש הם `d_a,d_b,d_c` נסמן ב R 
  את רדיוס המעגל החוסם את המשולש וב r את רדיוס המעגל החסום במשולש. הראו כי `sqrt(d_a)+sqrt(d_b)+sqrt(d_3)<= sqrt (2R+5r) `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> אי שוויונים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 7

• קבוצות במישור

  א. האם קיימת במישור קבוצה A שחיתוכה עם כל מעגל מכיל שתי נקודות בדיוק?

  ב. האם קיימת במישור קבוצה B שחיתוכה עם כל מעגל ברדיוס 1 מכיל שתי נקודות בדיוק?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת הקבוצות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 3

• איך שגלגל מסתובב לו

  כל 6 הגלגלים שבשרטוט מסתובבים כשהם נוגעים זה בזה ללא החלקה. קוטרו של הגלגל השמאלי 15.7 ס"מ והוא מבצע 12 סיבובים בדקה.

  ידוע שהגלגל הקטן מבצע סיבוב אחד בשנייה.

  מהו קוטרו של הגלגל הקטן?

  

  נושאים:

  אריתמטיקה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 7

• שאלה

  נתון טרפז שווה שוקיים, שאורך השוק שלו a, ואורך האלכסון שלו b, כמו בציור. מצא את הערך הגדול ביותר והקטן ביותר שיכולה לקבל מכפלת הבסיסים (התשובה תלויה ב-`a` וב-`b`).
  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 9

• שאלה

  נתונים שלושה מעגלים שקוטריהם 3, 4, 5. המעגלים הקטנים
  משיקים למעגל הגדול מבפנים, בנקודות נגדיות (ראה ציור). המעגלים
  הקטנים מחלקים את המעגל הגדול למספר חלקים. ניקח חלק אשר
  צורתו "משולש עקום", כלומר, הוא כלוא בין שלוש קשתות של מעגלים שונים. נסמן את
  שטחו ב-S, ואת שטח החיתוך של שני העיגולים הקטנים ב-T. חשב את `T/S`
  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א שאלה 5

• שאלה

  נתון משולש ABC ומעגל עם רדיוס 10 שחותך כל אחד מהצלעות של המשולש בשתי נקודות: נקודות
  P ו-Q על הצלע BC, נקודות K ו-L על הצלע CA, ונקודות M ו-N על הצלע AB, כך שמתקיים `AM = MN = KL = PQ = 2PB = BC/6`. מצאו את שטח המשולש ABC.
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 6

• התבוננות לקויה

  ההתבוננות שלנו בדברים קטנים היא לעתים קרובות לקויה, והזיכרונות שלנו נוטים מאוד לחלוף. שופט מסוים העיר לאחרונה במקרה שאין לו שום זיכרון מלבישת טבעת הנישואין על אצבעה של אשתו. האם תוכלו לענות נכונה על השאלות הבאות מבלי לראות את המטבעות? באיזה צד של פני מצוין התאריך? יש אנשים כל כך לא מתבוננים שלמרות שהם מטפלים במטבע כמעט כל יום בחייהם, הם מתקשים לענות על השאלה הפשוטה הזו. אם אני מניח פני שטוח על השולחן, כמה פני אחרים אני יכול להניח סביבו, כשכל אחד מהם מונח שטוח על השולחן, כך שכולם יגעו בראשון? הגיאומטריקן כמובן ייתן את התשובה מיד, ולא יצטרך לערוך ניסוי. הוא גם יידע שמאחר שכל המעגלים דומים, אותה תשובה בהכרח תחול על כל מטבע. השאלה הבאה היא מעניינת ביותר לשאול חברה, כאשר כל אדם כותב את תשובתו על פיסת נייר, כך שאף אחד לא ייעזר בתשובות של אחרים. מהו המספר הגדול ביותר של מטבעות של שלושה פני שאפשר להניח שטוחים על פני השטח של חצי כתר, כך שאף מטבע לא יהיה מונח על אחר או יחפוף את פני השטח של חצי הכתר? זה מדהים איזו מגוון תשובות שונות מקבלים לשאלה זו. מעט מאוד אנשים יימצאו את המספר הנכון. כמובן שיש לתת את התשובה מבלי להסתכל על המטבעות.
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 28

• הנקודה על השולחן

  ילד, שחזר לאחרונה מבית הספר, רצה להציג לאביו את פיקחותו. הוא דחף שולחן עגול גדול לפינת החדר, כפי שמוצג באיור, כך שהוא נגע בשני הקירות, ואז הצביע על כתם דיו בקצה השולחן.

   

  "הנה חידה קטנה בשבילך, אבא," אמר הילד. "הנקודה הזו נמצאת בדיוק שמונה אינץ' מקיר אחד ותשעה אינץ' מהקיר השני. האם תוכל לומר לי מה קוטר השולחן מבלי למדוד אותו?"

  הילד נשמע אומר לחבר, "זה ממש ניצח את אבא;" אבל ידוע שהאב העיר למכר בעיר שהוא פתר את העניין בראשו תוך דקה. אני לעתים קרובות תוהה מי דיבר אמת.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 97

• חידת הלחמנייה

  שלושת העיגולים מייצגים שלוש לחמניות, ונדרש פשוט להראות כיצד ניתן לחלק אותן באופן שווה בין ארבעה בנים. יש להתייחס ללחמניות כבעלות עובי שווה לכל אורכן ועובי שווה זו לזו. כמובן, יש לחתוך אותן למספר החלקים המועט ביותר האפשרי. כדי לפשט זאת, אציין את העובדה המפתיעה למדי שדי בחמישה חלקים בלבד, ומכך ניתן יהיה לראות שנער אחד מקבל את חלקו בשני חלקים ושלושת האחרים מקבלים את חלקם בחלק אחד. אני מודע לכך שהצהרה זו "מסגירה" את החידה, אך היא לא אמורה לפגוע בעניינם של אלה שאוהבים לגלות את "הסיבה לכך".
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 148

• המונד הגדול

   

  הנה סמל בעל עתיקות עצומה הראוי לתשומת לב. הוא מוטבע על נס קוריאה ועל דגל הסוחר שלה, ואומץ כסימן מסחרי על ידי חברת הרכבות Northern Pacific, אם כי מעטים מודעים לכך שמדובר במונד הגדול, כפי שמוצג בסקיצה למטה. סימן זה עבור הסיני הוא כמו הצלב עבור הנוצרי. זהו סימן האלוהות והנצח, בעוד שני החלקים שאליהם מחולק המעגל נקראים יין ויאנג—הכוחות הזכריים והנקביים של הטבע. סופר בנושא לפני יותר משלושת אלפים שנה דיווח כי אמר בהתייחסו אליו: "הבלתי מוגבל מייצר את הקיצוניות הגדולה. הקיצוניות הגדולה מייצרת את שני העקרונות. שני העקרונות מייצרים את ארבעת הרבעים, ומארבעת הרבעים אנו מפתחים את הריבוע של שמונת הדיאגרמות של פואה-הי." אני מקווה שהקוראים לא יבקשו ממני להסביר זאת, כי אין לי מושג קלוש מה זה אומר. עם זאת, אני משוכנע שבמשך עידנים לסמל היו משמעויות נסתרות וכנראה מתמטיות עבור הסטודנט האזוטרי.

  אציג את המונד בצורתו היסודית. הנה שלוש שאלות קלות בנוגע לסמל הגדול הזה:—

  (I.) למי יש שטח גדול יותר, למעגל הפנימי המכיל את היין והיאנג, או לטבעת החיצונית?

  (II.) חלקו את היין והיאנג לארבעה חלקים באותו גודל ובאותה צורה על ידי חתך אחד.

  (III.) חלקו את היין והיאנג לארבעה חלקים באותו גודל, אך בצורה שונה, על ידי חתך ישר אחד.

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 158