证明与示例, 反证法

反证法（归谬法）是一种间接证明技术。它假设待证明陈述的否定为真，然后从此假设推导出逻辑矛盾，从而确定原始陈述的真实性。问题需要应用此方法。

• 问题

  一个骑士从 `a1` 格出发，到达 `h8` 格。是否可能它在途中恰好访问了棋盘上的每个格子一次？

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  主题：

  组合数学 -> 双重计数 组合数学 -> 不变量 组合数学 -> 图论 逻辑学 -> 推理/逻辑 数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 反证法 组合数学 -> 着色问题 -> 棋盘着色

• 问题

  曾经生活在地球上的每个人都进行了特定次数的握手（包括 0 次）。 证明进行了奇数次握手的人数是偶数。

  主题：

  组合数学 -> 双重计数 组合数学 -> 图论 数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 反证法

• 问题

  在一个立方体的顶点上写着数字 `1`, `2`, `3`, ..., `8`。证明存在立方体的一条边，其两端数字之差至少为 `3`。

  主题：

  几何学 -> 立体几何/空间几何 组合数学 -> 鸽巢原理 组合数学 -> 图论 逻辑学 -> 推理/逻辑 证明与示例 -> 反证法

• 乘法算式中的错误

  证明以下乘法算式有误

  \(\begin{array}& & & * & * & * & 2 & 7 \\ \times & & & & & * & * \\ \hline & * & * & * & * & * & 6 \\ + & * & * & * & * & * & \\ \hline & * & * & * & * & 4 & 6 \end{array}\)

  主题：

  算术 逻辑学 -> 推理/逻辑 证明与示例 -> 反证法 数论 -> 除法 谜题和画谜 -> 重构算式/密码算术
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2013, Grade 7 问题 4

• 问题

  两个连续自然数的乘积可能等于两个连续偶数的乘积吗？

  主题：

  数论 代数学 -> 不等式 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 证明与示例 -> 反证法

• 问题

  是否存在一个凸四边形，它的每条对角线都将其分成两个锐角三角形？

  主题：

  证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算

• 问题

  证明：如果 `n!+1` 能被 `n+1` 整除，那么 `n+1` 是素数。

  主题：

  数论 -> 素数 证明与示例 -> 反证法

• 垂直的指针

  在一昼夜中，时针和分针在一条直线上并形成 `180^@` 角的次数。在所有这些直线上，是否存在相互垂直的直线？

  主题：

  逻辑学 证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算

• 问题

  是否存在一个自然数，当它除以其各位数字之和时，商和余数都等于 `2017`？

  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被3和9整除的规则 证明与示例 -> 反证法

• 森林中的松树

  护林员正在数森林中的松树。他沿着图中每个圆圈走了一圈，并且在每个圆圈内他数了正好 `3` 棵松树。证明护林员肯定数错了。

  

  主题：

  逻辑学 -> 推理/逻辑 集合论 证明与示例 -> 反证法