证明与示例, 反证法

反证法（归谬法）是一种间接证明技术。它假设待证明陈述的否定为真，然后从此假设推导出逻辑矛盾，从而确定原始陈述的真实性。问题需要应用此方法。

• 问题

  你能找到两个数，使得它们的和与积均为奇数吗？请解释原因或提供一个例子！

  主题：

  数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 反证法

• 问题

  你能否将 `44` 个球分成 `9` 堆，每堆球的数量都不同？

  主题：

  算术 组合数学 -> 鸽巢原理 证明与示例 -> 反证法

• 问题

  七个孩子每人手持一个红色、绿色或蓝色的气球。证明至少有三个孩子拿着相同颜色的气球。

  主题：

  组合数学 -> 鸽巢原理 证明与示例 -> 反证法

• 问题

  将数字 `1`, `2`, `3`, ..., `9` 分成 `3` 组。 证明存在一组，其中数字的乘积大于或等于 `72`。

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  主题：

  数论 组合数学 -> 鸽巢原理 代数学 -> 不等式 证明与示例 -> 反证法

• 问题

  给定 `50` 个介于 `1` 和 `100` 之间的不同自然数。已知其中任意两个数的和不等于 `100`。是否正确地断言这些数中必有一个是完全平方数？

  主题：

  数论 -> 素数 算术 组合数学 -> 鸽巢原理 组合数学 -> 匹配 逻辑学 -> 推理/逻辑 证明与示例 -> 构造示例/反例 集合论 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 证明与示例 -> 反证法

• 问题

  Shlomi 有一个棋盘和一个立方体，其面的大小与棋盘上一个正方形的大小相同。 Shlomi 想要将立方体的面涂成黑色和白色，然后将立方体在棋盘上滚动，使得每次接触棋盘的面与它接触的正方形颜色相同。立方体应该恰好一次通过棋盘上的每个正方形。 Shlomi 能做到吗？解释或给出一个例子。

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 组合数学 -> 图论 逻辑学 -> 推理/逻辑 证明与示例 -> 反证法 组合数学 -> 着色问题 -> 棋盘着色

• 问题

  已知自然数 m,n 满足 `m/n <= sqrt 23`, 证明 `m/n+3/{mn} <= sqrt 23`成立。

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  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 代数学 -> 不等式 证明与示例 -> 反证法 代数学 -> 代数技巧 -> 根/根式
  来源：
  • Mink Exercises and Additional Competition Materials, 2018-2019, Exercise 3 问题 4

• 问题

  是否存在自然数解满足方程 `x^2 + 12 = y^3`，使得

  a. x 是偶数 (更简单)

  b. x 是奇数

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  主题：

  数论 -> 素数 数论 -> 模算术/余数算术 数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 反证法 算术 -> 带余除法 代数学 -> 方程 -> 丢番图方程
  来源：
  • Mink Exercises and Additional Competition Materials, 2018-2019, Exercise 3 问题 6

• 玩具

  约拿单收集了一些木制玩具。有些是立方体，有些是球体，有些是红色的，有些是蓝色的。

  已知球体比立方体多，并且已知蓝色玩具比红色玩具多。

  证明约拿单有一个蓝色的球体。

  主题：

  组合数学 -> 鸽巢原理 逻辑学 -> 推理/逻辑 证明与示例 -> 反证法
  来源：
  • Young Mathematician Olympiad, 2017-2018, Final, Grades 3-4 问题 1

• 测验

  在一个有25名学生的班级里进行了一次包含7道题的测验。证明以下两个陈述中至少有一个是正确的：

  1. 有一个学生解答了奇数道题
  2. 有一道题被偶数个学生解答了
  主题：

  组合数学 -> 鸽巢原理 逻辑学 -> 推理/逻辑 数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 反证法
  来源：
  • Young Mathematician Olympiad, 2017-2018, Final, Grades 5-6 问题 5