גאומטריה

גאומטריה היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות וביחסים של נקודות, קווים, משטחים, גופים ואנלוגים ממדיים גבוהים יותר. שאלות צפויות כוללות חישוב אורכים, זוויות, שטחים ונפחים של צורות שונות, הבנת משפטים גאומטריים ופתרון בעיות הקשורות לחשיבה מרחבית.

גאומטריה במרחב טריגונומטריה גאומטריה על כדור גאומטריה במישור ווקטורים

  • איך שגלגל מסתובב לו

    כל 6 הגלגלים שבשרטוט מסתובבים כשהם נוגעים זה בזה ללא החלקה. קוטרו של הגלגל השמאלי 15.7 ס"מ והוא מבצע 12 סיבובים בדקה.

    ידוע שהגלגל הקטן מבצע סיבוב אחד בשנייה.

    מהו קוטרו של הגלגל הקטן?

    מקורות:

  • התבוננות לקויה

    ההתבוננות שלנו בדברים קטנים היא לעתים קרובות לקויה, והזיכרונות שלנו נוטים מאוד לחלוף. שופט מסוים העיר לאחרונה במקרה שאין לו שום זיכרון מלבישת טבעת הנישואין על אצבעה של אשתו. האם תוכלו לענות נכונה על השאלות הבאות מבלי לראות את המטבעות? באיזה צד של פני מצוין התאריך? יש אנשים כל כך לא מתבוננים שלמרות שהם מטפלים במטבע כמעט כל יום בחייהם, הם מתקשים לענות על השאלה הפשוטה הזו. אם אני מניח פני שטוח על השולחן, כמה פני אחרים אני יכול להניח סביבו, כשכל אחד מהם מונח שטוח על השולחן, כך שכולם יגעו בראשון? הגיאומטריקן כמובן ייתן את התשובה מיד, ולא יצטרך לערוך ניסוי. הוא גם יידע שמאחר שכל המעגלים דומים, אותה תשובה בהכרח תחול על כל מטבע. השאלה הבאה היא מעניינת ביותר לשאול חברה, כאשר כל אדם כותב את תשובתו על פיסת נייר, כך שאף אחד לא ייעזר בתשובות של אחרים. מהו המספר הגדול ביותר של מטבעות של שלושה פני שאפשר להניח שטוחים על פני השטח של חצי כתר, כך שאף מטבע לא יהיה מונח על אחר או יחפוף את פני השטח של חצי הכתר? זה מדהים איזו מגוון תשובות שונות מקבלים לשאלה זו. מעט מאוד אנשים יימצאו את המספר הנכון. כמובן שיש לתת את התשובה מבלי להסתכל על המטבעות. מקורות:

  • הנקודה על השולחן

    ילד, שחזר לאחרונה מבית הספר, רצה להציג לאביו את פיקחותו. הוא דחף שולחן עגול גדול לפינת החדר, כפי שמוצג באיור, כך שהוא נגע בשני הקירות, ואז הצביע על כתם דיו בקצה השולחן.

     

    "הנה חידה קטנה בשבילך, אבא," אמר הילד. "הנקודה הזו נמצאת בדיוק שמונה אינץ' מקיר אחד ותשעה אינץ' מהקיר השני. האם תוכל לומר לי מה קוטר השולחן מבלי למדוד אותו?"

    הילד נשמע אומר לחבר, "זה ממש ניצח את אבא;" אבל ידוע שהאב העיר למכר בעיר שהוא פתר את העניין בראשו תוך דקה. אני לעתים קרובות תוהה מי דיבר אמת.

    מקורות:

  • שני פרסות הסוס

    מדוע יש להתייחס לפרסות סוס כאל "מזל" הוא אחד מאותם דברים שאף אדם לא יכול להבין. זוהי אמונה טפלה עתיקה מאוד, וג'ון אוברי (`1626-1700`) אומר, "לרוב הבתים בווסט אנד של לונדון יש פרסת סוס על סף הדלת." ברחוב מונמות' היו שבע עשרה בשנת `1813` ושבע עד לשנת `1855`. אפילו לורד נלסון מסמר אחת לתורן של הספינה ויקטורי. כיום אנו מוצאים שזה יותר מועיל ל"מזל טוב" לוודא שהם ממוסמרים היטב על רגלי הסוס שאנו עומדים לנסוע בו.

    אף על פי כן, עד כמה שהפרסה, כמו הצלב קרס וסמלים אחרים שיצא לי לעסוק בהם מדי פעם, שימשה לסמל בריאות, שגשוג ורצון טוב כלפי בני אדם, אנו יכולים להתייחס אליה בכבוד מסוים. האם ייתכן שיש איזשהו מסתורין מתמטי איזוטרי או אבוד החבוי בצורת פרסת סוס? בחנתי את הנושא הזה, ואני רוצה להסב את תשומת לבם של הקוראים שלי לעובדה המדהימה ביותר שזוג פרסות הסוס המוצגות באיור שלי קשורות בצורה בולטת ויפה לעיגול, שהוא הסמל של הנצח. אני מציג את העובדה הזו בצורה של בעיה פשוטה, כדי שניתן יהיה לראות עד כמה הקשר הזה הוסתר בצורה מתוחכמת במשך עידנים רבים. הקוראים שלי ישמחו, אני יודע, כשהם ימצאו את המפתח למסתורין.

     

    גזרו בזהירות את שתי פרסות הסוס מסביב לקו המתאר ואז חתכו אותן לארבעה חלקים, שכולם שונים בצורתם, שיתאימו זה לזה וייצרו מעגל מושלם. כל נעל חייבת להיחתך לשני חלקים וכל החלק בטלף הסוס הכלול בתוך קו המתאר ישמש וייחשב כחלק מהשטח.

    מקורות:

  • החתולים של הקוסם

    קוסם הניח עשרה חתולים בתוך מעגל קסם כפי שמוצג באיור שלנו, והפנט אותם כך שיישארו נייחים במהלך רצונו. לאחר מכן הוא הציע לצייר שלושה מעגלים בתוך המעגל הגדול, כך שאף חתול לא יוכל להתקרב לחתול אחר מבלי לחצות מעגל קסם. נסו לצייר את שלושת המעגלים כך שלכל חתול תהיה מתחם משלו ולא יוכל להגיע לחתול אחר מבלי לחצות קו. מקורות:

  • ציור ספירלה

    אם תחזיקו את הדף אופקית ותסובבו אותו במהירות תוך כדי התבוננות במרכז הספירלה, היא תיראה כאילו היא מסתובבת. ייתכן שקוראים רבים מכירים את האשליה האופטית הקטנה הזו. אבל החידה היא להראות כיצד הצלחתי לצייר את הספירלה הזו בדיוק כה רב מבלי להשתמש בדבר מלבד זוג מחוגות ודף הנייר שעליו נעשה הדיאגרמה. איך הייתם פועלים בנסיבות כאלה? מקורות:

  • חידת הירח

    הנה חידה גיאומטרית קלה. הירח נוצר על ידי שני מעגלים, ו-C הוא מרכז המעגל הגדול יותר. רוחב הירח בין B ל-D הוא `9` אינץ', ובין E ל-F הוא `5` אינץ'. מהם הקטרים של שני המעגלים? מקורות:

  • חידת המַחְגֵּלִים

    זה משונה איך תנאי או מגבלה נוספים יכולים לפעמים להפוך חידה קלה באופן אבסורדי לחידה מעניינת ואולי קשה. אני זוכר שקניתי ברחוב לפני שנים רבות חידה מכנית קטנה שנמכרה בצורה אדירה באותה תקופה. היא כללה מדליה עם חורים, והחידה הייתה להעביר טבעת עם רווח מחור לחור עד שהיא ניתקה סופית. כשהלכתי ברחוב, מהר מאוד רכשתי את הטריק להסיר את הטבעת ביד אחת תוך כדי החזקת החידה בכיס. חבר שהראיתי לו את הפעלול הקטן ניגש להשיג זאת בעצמו, וכשפגשתי אותו כמה ימים לאחר מכן הוא הציג את מומחיותו באומנות. אבל הוא הופתע קצת כשלקחתי ממנו את החידה ואז, תוך כדי החזקת המדליה בין האצבע לאגודל של יד אחת, בסדרה של טלטלות ונענועים קטנים גרמתי לטבעת, בלי שאגע בה אפילו, ליפול על הרצפה. הבוחן הקטן הבא כנראה יתברר כאגוז קשה לפיצוח עבור קוראים רבים, פשוט בגלל התנאים המוגבלים:—

    הראו כיצד למצוא בדיוק את אמצעו של כל קו ישר באמצעות מַחְגֵּלִים בלבד. אסור להשתמש בשום סרגל, עיפרון או חפץ אחר—רק במַחְגֵּלִים; ולא יתאפשר שום טריק או התחמקות, כמו קיפול הנייר. אתם חייבים פשוט להשתמש במַחְגֵּלִים בצורה רגילה ולגיטימית.

    מקורות:

  • בעניין גלגלים

     

    ישנן מספר עובדות מוזרות הנוגעות לתנועת גלגלים אשר עשויות לבלבל את המתחילים. לדוגמה: כאשר רכבת נוסעת מלונדון לקרו, חלקים מסוימים ברכבת, בכל רגע נתון, נעים למעשה מקרו לכיוון לונדון. האם תוכלו לציין את החלקים האלה? זה נראה אבסורדי שחלקים מאותה רכבת יכולים בכל זמן נתון לנוע בכיוונים מנוגדים, אך כך הם פני הדברים.

    באיור המצורף יש לנו שני גלגלים. הגלגל התחתון אמור להיות קבוע והגלגל העליון מסתובב סביבו בכיוון החצים. עכשיו, כמה פעמים הגלגל העליון מסתובב סביב צירו שלו במהלך סיבוב שלם סביב הגלגל השני? אל תמהרו עם התשובה, אחרת כמעט בטוח שתטעו. נסו זאת עם שני מטבעות על השולחן והתשובה הנכונה תפתיע אתכם, כשתצליחו לראות אותה.

    מקורות:

  • הנחת מטבעות חצי פני

    הנה חידה קטנה ומעניינת שהוצעה לי על ידי מר וו. טי. וויט. סמנו על דף נייר שטח מלבני של `5` אינץ' על `3` אינץ', ואז מצאו את המספר הגדול ביותר של מטבעות חצי פני שניתן להניח בתוך המתחם בתנאים הבאים. קוטר של מטבע חצי פני הוא בדיוק אינץ' אחד. הניחו את מטבע חצי הפני הראשון שלכם היכן שתרצו, ואז הניחו את המטבע השני בדיוק במרחק של אינץ' אחד מהראשון, את השלישי במרחק של אינץ' אחד מהשני, וכן הלאה. אסור לאף מטבע חצי פני לגעת במטבע אחר או לחצות את הגבול. האיור שלנו יבהיר את העניין בצורה מושלמת. מטבע מספר `2` נמצא במרחק אינץ' אחד ממספר `1`; מספר `3` במרחק אינץ' אחד ממספר `2`; מספר `4` במרחק אינץ' אחד ממספר `3`; אבל אחרי שמניחים את מספר `10`, איננו יכולים להתקדם בניסיון זה. עם זאת, אפשר היה להכניס עוד כמה מטבעות חצי פני. כמה יכול הקורא להניח? מקורות: