גאומטריה

גאומטריה היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות וביחסים של נקודות, קווים, משטחים, גופים ואנלוגים ממדיים גבוהים יותר. שאלות צפויות כוללות חישוב אורכים, זוויות, שטחים ונפחים של צורות שונות, הבנת משפטים גאומטריים ופתרון בעיות הקשורות לחשיבה מרחבית.

גאומטריה במרחב טריגונומטריה גאומטריה על כדור גאומטריה במישור ווקטורים

  • חידת המַחְגֵּלִים

    זה משונה איך תנאי או מגבלה נוספים יכולים לפעמים להפוך חידה קלה באופן אבסורדי לחידה מעניינת ואולי קשה. אני זוכר שקניתי ברחוב לפני שנים רבות חידה מכנית קטנה שנמכרה בצורה אדירה באותה תקופה. היא כללה מדליה עם חורים, והחידה הייתה להעביר טבעת עם רווח מחור לחור עד שהיא ניתקה סופית. כשהלכתי ברחוב, מהר מאוד רכשתי את הטריק להסיר את הטבעת ביד אחת תוך כדי החזקת החידה בכיס. חבר שהראיתי לו את הפעלול הקטן ניגש להשיג זאת בעצמו, וכשפגשתי אותו כמה ימים לאחר מכן הוא הציג את מומחיותו באומנות. אבל הוא הופתע קצת כשלקחתי ממנו את החידה ואז, תוך כדי החזקת המדליה בין האצבע לאגודל של יד אחת, בסדרה של טלטלות ונענועים קטנים גרמתי לטבעת, בלי שאגע בה אפילו, ליפול על הרצפה. הבוחן הקטן הבא כנראה יתברר כאגוז קשה לפיצוח עבור קוראים רבים, פשוט בגלל התנאים המוגבלים:—

    הראו כיצד למצוא בדיוק את אמצעו של כל קו ישר באמצעות מַחְגֵּלִים בלבד. אסור להשתמש בשום סרגל, עיפרון או חפץ אחר—רק במַחְגֵּלִים; ולא יתאפשר שום טריק או התחמקות, כמו קיפול הנייר. אתם חייבים פשוט להשתמש במַחְגֵּלִים בצורה רגילה ולגיטימית.

    מקורות:

  • שמונה מקלות

    יש לי שמונה מקלות, ארבעה מהם באורך בדיוק חצי מהאחרים. אני מניח כל אחד מהם על השולחן, כך שהם תוחמים שלושה ריבועים, כולם באותו גודל. איך אני עושה את זה? אסור שיהיו קצוות משוחררים שתלויים מעל. מקורות:

  • החידה של פאפוס

    זוהי חידה מאת פאפוס, שחי באלכסנדריה בערך בסוף המאה השלישית. זהו המשפט החמישי בספר השמיני של אוספים מתמטיים שלו. אני מציג אותה בצורה שהצגתי אותה לפני כמה שנים תחת הכותרת "החידה של פאפוס", רק כדי לראות כמה קוראים יגלו שהיא מאת פאפוס עצמו. "לאבא של העלמה הקטנה יש שני פיסות קרטון מלבניות בגדלים שונים, והוא גזר פיסה משולשת מאחת מהן, כך שכאשר היא תלויה בחוט מהנקודה A היא תלויה כשהצד הארוך אופקי לחלוטין, כפי שמוצג באיור. הוא הדהים את הילדה בכך שביקש ממנה למצוא את הנקודה A על הכרטיס השני, כדי להפיק תוצאה דומה כאשר הוא נחתך ותלוי בחוט." כמובן, אסור למצוא את הנקודה על ידי גזירות ניסיון. נקודה מוזרה ויפה מעורבת בהצגת החידה הזו. האם הקורא יכול לגלות אותה? מקורות:

  • חידה על עפיפון

    בעודי מלווה את ידידי, פרופסור הייפלייט, בתחרות הטסת עפיפונים מדעית בגבעות הדרומיות של סאסקס, נקלעתי לחישוב קטן שאמור לעניין את קוראיי. הפרופסור פרש את החוט שאליו היה מחובר העפיפון שלו מכננת שעליה הוא גולגל בצורה כדורית לחלוטין. כדור חוט זה היה בדיוק שני רגל בקוטר, ולחוט היה קוטר של מאיות אינץ'. מה היה אורך החוט?

    עכשיו, שאלה קטנה ופשוטה כזו שכולם יכולים להבין לחלוטין תגרום לרבים להתקשות לענות בכל דרך שהיא. בואו נראה אם, מבלי להיכנס לחישובים מתמטיים מעמיקים כלשהם, נוכל לקבל את התשובה בערך - נניח, בטווח של מייל אחד ממה שנכון! נניח שכאשר החוט מגולגל כולו הכדור מוצק לחלוטין לכל אורכו, ואין צורך להתחשב בציר שעובר דרכו. עם הפשטה זו, אני תוהה כמה קוראים יכולים לציין אפילו בטווח של מייל אחד מהתשובה הנכונה את אורך החוט הזה.

    מקורות:

  • חידת החרוט

    יש לי חרוט עץ, כפי שמוצג באיור `1`. איך עליי לחתוך ממנו את הגליל הגדול ביותר האפשרי? ניתן לראות שאני יכול לחתוך אחד שהוא ארוך ודק, כמו באיור `2`, או קצר ועבה, כמו באיור `3`. אבל אף אחד מהם אינו הגדול ביותר האפשרי. ילד יכול לומר לכם היכן לחתוך, אם הוא היה מכיר את הכלל. האם תוכלו למצוא את הכלל הפשוט הזה? מקורות:

  • בעניין גלגלים

     

    ישנן מספר עובדות מוזרות הנוגעות לתנועת גלגלים אשר עשויות לבלבל את המתחילים. לדוגמה: כאשר רכבת נוסעת מלונדון לקרו, חלקים מסוימים ברכבת, בכל רגע נתון, נעים למעשה מקרו לכיוון לונדון. האם תוכלו לציין את החלקים האלה? זה נראה אבסורדי שחלקים מאותה רכבת יכולים בכל זמן נתון לנוע בכיוונים מנוגדים, אך כך הם פני הדברים.

    באיור המצורף יש לנו שני גלגלים. הגלגל התחתון אמור להיות קבוע והגלגל העליון מסתובב סביבו בכיוון החצים. עכשיו, כמה פעמים הגלגל העליון מסתובב סביב צירו שלו במהלך סיבוב שלם סביב הגלגל השני? אל תמהרו עם התשובה, אחרת כמעט בטוח שתטעו. נסו זאת עם שני מטבעות על השולחן והתשובה הנכונה תפתיע אתכם, כשתצליחו לראות אותה.

    מקורות:

  • חידת גפרורים חדשה

    באיור מוצגים שמונה-עשר גפרורים המסודרים כך שהם תוחמים שני שטחים, כאשר אחד גדול פי שניים מהשני. האם תוכלו לסדר אותם מחדש (`1`) כך שיתחמו שני שטחים מרובעים, כאשר אחד גדול בדיוק פי שלושה מהשני, ו- (`2`) כך שיתחמו שני שטחים מחומשים, כאשר אחד גדול בדיוק פי שלושה מהשני? יש להשתמש בכל שמונה-עשר הגפרורים בצורה הוגנת בכל מקרה; שני השטחים חייבים להיות מופרדים לחלוטין, ולא צריכים להיות קצוות רופפים או גפרורים כפולים. מקורות:

  • המלך והמבצרים

    היה היה, בעת העתיקה, מלך חזק, שהיו לו רעיונות מוזרים בנושא האדריכלות הצבאית. הוא טען שיש כוח וחיסכון גדולים בצורות סימטריות, ותמיד ציטט את דוגמת הדבורים, שבונות את החלות שלהן בתאים משושים מושלמים, כדי להוכיח שיש לו את הטבע שתומך בו. הוא החליט לבנות עשרה מבצרים חדשים במדינתו, שכולם יהיו מחוברים בחומות מבוצרות, שייצרו חמישה קווים עם ארבעה מבצרים בכל קו. האדריכל המלכותי הציג את תוכניתו המקדימה בצורה שהראיתי. אבל המלך הצביע על כך שניתן לגשת לכל מבצר מבחוץ, וציווה שהתוכנית תשונה כך שכמה שיותר מבצרים יהיו חופשיים מתקיפה מבחוץ, וניתן יהיה להגיע אליהם רק על ידי חציית החומות המבוצרות. האדריכל השיב שהוא חושב שאי אפשר לסדר אותם כך שאפילו מבצר אחד, שהמלך הציע להשתמש בו כמגורים מלכותיים, יהיה מוגן כל כך, אבל הוד מלכותו עד מהרה הבהיר לו כיצד ניתן לעשות זאת. איך הייתם בונים את עשרת המבצרים והביצורים כדי למלא בצורה הטובה ביותר את דרישות המלך? זכרו שהם חייבים ליצור חמישה קווים ישרים עם ארבעה מבצרים בכל קו. מקורות:

  • דובדבנים ושזיפים

    האיור הוא תוכנית של קוטג' כפי שהוא עומד מוקף במטע של חמישים וחמישה עצים. עשרה מהעצים הללו הם דובדבנים, עשרה הם שזיפים, והשאר תפוחים. הדובדבנים נשתלו כך שייצרו חמישה קווים ישרים, עם ארבעה עצי דובדבן בכל קו. עצי השזיף נשתלו גם הם כך שייצרו חמישה קווים ישרים עם ארבעה עצי שזיף בכל קו. החידה היא להראות אילו הם עשרת עצי הדובדבן ואילו הם עשרת עצי השזיף. על מנת שלדובדבנים ולשזיפים יהיה את הנוף הטוב ביותר, כמה שפחות (בתנאים הקיימים) נשתלים בצד הצפוני והמזרחי של המטע. כמובן שבהוצאת קבוצה של עשרה עצים (דובדבן או שזיף, לפי העניין) מתעלמים מכל העצים המפרידים. זאת אומרת, ארבעה עצים יכולים להיות בקו ישר ללא קשר לעצים אחרים (או לבית) שנמצאים ביניהם. אחרי החידה האחרונה זה יהיה די קל. מקורות:

  • עשרים ואחד עצים

    אדון רצה לשתול עשרים ואחד עצים בפארק שלו כך שהם ייצרו שתים עשרה שורות ישרות עם חמישה עצים בכל שורה. האם הייתם יכולים לספק לו סידור סימטרי נאה שיעמוד בתנאים אלה? מקורות: