גאומטריה

גאומטריה היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות וביחסים של נקודות, קווים, משטחים, גופים ואנלוגים ממדיים גבוהים יותר. שאלות צפויות כוללות חישוב אורכים, זוויות, שטחים ונפחים של צורות שונות, הבנת משפטים גאומטריים ופתרון בעיות הקשורות לחשיבה מרחבית.

גאומטריה במרחב טריגונומטריה גאומטריה על כדור גאומטריה במישור ווקטורים

• שאלה

  לשלומי יש קופסה שטוחה בגודל `5xx5` סנטימטרים. שלומי טוען, שכל מלבן שאפשר לאחסן בקופסה הזאת, כל צלעותיו צריכות להיות קטנות מ-5 סנטימטרים. האם הוא צודק?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס

• גְּנֵבַת חַבְלֵי הַפַּעֲמוֹנִים

  שְׁנֵי אֲנָשִׁים פָּרְצוּ לְמִגְדַּל כְּנֵסִיָּה לַיְלָה אֶחָד כְּדֵי לִגְנֹב אֶת חַבְלֵי הַפַּעֲמוֹנִים. שְׁנֵי הַחֲבָלִים עָבְרוּ דֶּרֶךְ חֹרִים בַּתִּקְרָה הָעֲשׂוּיָה עֵץ שֶׁהָיְתָה מֵעֲלֵיהֶם, וְהֵם לֹא בִּזְבְּזוּ זְמַן וְטִפְּסוּ לְרֹאשׁ הַמִּגְדָּל. אָז אִישׁ אֶחָד שָׁלַף אֶת סַכִּינוֹ וְחָתַךְ אֶת הַחֶבֶל מֵעַל רֹאשׁוֹ, וּכְתוֹצָה מִכָּךְ הוּא נָפַל עַל הָרִצְפָּה וְנִפְצַע קָשׁוֹת. חֲבֵרוֹ-הַגַּנָּב קָרָא שֶׁמַּגִּיעַ לוֹ עַל שֶׁהוּא כָּזֶה טִפֵּשׁ. הוּא אָמַר שֶׁהוּא הָיָה צָרִיךְ לַעֲשׂוֹת כְּפִי שֶׁהוּא עוֹשֶׂה, וְעַל כֵּן הוּא חָתַךְ אֶת הַחֶבֶל מִתַּחַת לַמָּקוֹם שֶׁבּוֹ הוּא הֶחְזִיק. אָז, לְתַדְהֵמָתוֹ, הוּא גִּלָּה שֶׁהוּא לֹא בְּמַצָּב טוֹב יוֹתֵר, כִּי אַחֲרֵי שֶׁנִּתְלָה כָּל עוֹד כֹּחוֹ הֶחְזִיק מַעֲמָד, הוּא הֻכְרַח לְהַרְפּוֹת וְלִנְפֹּל לְצַד חֲבֵרוֹ. כָּאן שְׁנֵיהֶם נִמְצְאוּ לְמָחֳרָת בַּבֹּקֶר עִם גְּפָפִים שְׁבוּרִים. מָה הָיָה גֹּבַהּ הַנְּפִילָה שֶׁלָּהֶם? אֶחָד מֵהַחֲבָלִים, כְּשֶׁמָּצְאוּ אוֹתוֹ, רַק נָגַע בָּרִצְפָּה, וְכַאֲשֶׁר מָשַׁכְתָּ אֶת הַקָּצֶה אֶל הַקִּיר, כְּשֶׁהַחֶבֶל מָתוּחַ, הוּא נָגַע בְּנְקֻדָּה שֶׁהִיא רַק שְׁלוֹשָׁה אִינְטְשִׁים מֵעַל הָרִצְפָּה, וְהַקִּיר הָיָה אַרְבָּעָה רֶגֶלִים מֵהַחֶבֶל כְּשֶׁהוּא תָּלוּי בְּמָנוֹחַ. מָה הָאֹרֶךְ שֶׁל הַחֶבֶל מֵהָרִצְפָּה עַד הַתִּקְרָה?
  נושאים:

  אלגברה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 179

• 5 מעלות בשעון

  באיזה שעה יש זווית 5 מעלות בין מחוגי השעון?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז שאלה 5

• שאלה

  האם קיים מרובע קמור שכל אחד מהאלכסונים שלו מחלק אותו לשני משולשים חדי זוויות?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות

• מחוגים מאונכים

  מספר פעמים ביממה מחוג השעות ומחוג הדקות נמצאים על ישר אחד ויוצרים זווית של `180^@`. האם בין כל הישרים האלה יש ישרים שמאונכים זה לזה?

  נושאים:

  לוגיקה הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות

• שאלה

  במישור נתונה נקודה ו-`12` ישרים שעוברים דרכה. הוכיחו כי יש שניים מתוך הישרים האלה שהזווית בינם פחות מ-`17^@`.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות

• שאלה

  במישור נתונים `12` ישרים נחתכים. הוכיחו כי כי יש שניים מתוך הישרים האלה שהזווית בינם פחות מ-`17^@`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> הזזה במקביל

• מחומש

  במחומש קמור `ABCDE` מתקיים: `AE=AD`, `AB=AC` ו-`angle CAD=angle ABE + angle AEB`.

  נעביר במשולש `ABE` תיכון `AM`. הוכיחו כי `AM` קטן פי שניים מהקטע `CD`.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> סיבוב
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 2 נקודות 3

• שאלה

  נתון מצולע משוכלל בעל n קודקודים. חשבו את כמות המשולשים השונים (לא חופפים) שקודקודיהם מתלכדים עם קודקודי המצולע

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 4 שאלה 3

• זווית בשעון

  כעבור כמה דקות אחרי השעה 7:00 הזווית בין מחוג השעות למחוג הדקות תהיה מעלה אחת לראשונה?
  הערה: מחוגי השעון זזים ברציפות ובמהירות קבועה

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות -> בעיות תנועה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ז-ח שאלה 3
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 3