גאומטריה

גאומטריה היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות וביחסים של נקודות, קווים, משטחים, גופים ואנלוגים ממדיים גבוהים יותר. שאלות צפויות כוללות חישוב אורכים, זוויות, שטחים ונפחים של צורות שונות, הבנת משפטים גאומטריים ופתרון בעיות הקשורות לחשיבה מרחבית.

גאומטריה במרחב טריגונומטריה גאומטריה על כדור גאומטריה במישור ווקטורים

  • חידת חולבת הפרות

    הנה חידה כפרית קטנה, אשר במבט ראשון עשויה להוביל את הקורא להניח שהיא מעמיקה מאוד, וכוללת חישובים מורכבים. הוא אף עשוי לטעון שאי אפשר לתת תשובה כלשהי אלא אם כן נאמר לנו משהו מוגדר לגבי המרחקים. ובכל זאת היא ממש "ילדותית ותמימה."

     

    בפינת שדה נראית חולבת חולבת פרה, ובצד השני של השדה נמצאת המחלבה, לשם יש להעביר את החלב. אבל שמו לב שהאישה הצעירה תמיד יורדת לנהר עם הדלי שלה לפני שהיא חוזרת למחלבה. כאן הקורא החשדן אולי ישאל מדוע היא מבקרת בנהר. אני יכול רק לענות שזה לא ענייננו. החלב לכאורה מיועד כולו לצריכה מקומית.

    "לאן את הולכת, עלמה יפה שלי?"
    "לנהר, אדוני," היא אמרה.
    "אני לא אבחר את המחלבה שלך, עלמה יפה שלי."
    "אף אחד לא שאל אותך, אדוני," היא אמרה.


    אם למישהו הייתה סקרנות בעניין, רוח עצמאית כזו תנטרל אותו לחלוטין. אז נעבור מנקודת המבט של מוסר מסחרי לנושא החידה.

    מתחו קו משרפרף החליבה אל הנהר ומשם אל דלת המחלבה, אשר יציין את המסלול הקצר ביותר האפשרי עבור החולבת. זה הכל. קל מאוד לציין את הנקודה המדויקת על גדת הנהר שאליה עליה לכוון את צעדיה אם היא רוצה את ההליכה הקצרה ביותר האפשרית. האם אתה יכול למצוא את הנקודה הזו?

    מקורות:

  • בעיית הכדור

     

    יום אחד, סתת היה עסוק בחיתוך כדור עגול לצורך קישוט ארכיטקטוני, כשנער חכם הגיע למקום.

    "תראה," אמר הסתת, "נראה שאתה בחור פיקח, תוכל להגיד לי את זה? אם אניח את הכדור הזה על הקרקע הישרה, כמה כדורים אחרים באותו גודל אוכל להניח סביבו (גם על הקרקע) כך שכל כדור ייגע בכדור הזה?"

    הילד מיד נתן את התשובה הנכונה, ואז הפנה לסתת את השאלה הקטנה הזו:—

    "אם שטח הפנים של הכדור הזה הכיל בדיוק אותו מספר של רגל רבוע כמו שנפחו הכיל רגל מעוקב, מה יהיה אורך הקוטר שלו?"

    הסתת לא הצליח לתת תשובה. האם הייתם יכולים לענות נכון לשאלות של הסתת והילד?

    מקורות:

  • אחוזות יורקשייר

     

    ביקרתי באחת הערים הגדולות של יורקשייר. בדרכי לתחנת הרכבת ביום עזיבתי, אדם דחף לי עלון, לקחתי אותו לקרון הרכבת וקראתי אותו בשעות הפנאי שלי. הוא הודיע לי ששלוש אחוזות שכנות ביורקשייר מוצעות למכירה. כל אחוזה הייתה בצורת ריבוע, והן הצטרפו זו לזו בפינותיהן, בדיוק כפי שמוצג בתרשים. אחוזה A מכילה בדיוק `370` אקרים, B מכילה `116` אקרים, ו-C `74` אקרים.

    כעת, פיסת הקרקע המשולשת הקטנה התחומה על ידי שלוש האחוזות הריבועיות לא הוצעה למכירה, ומסיבה לא מיוחדת, התעוררתי לסקרנות לגבי שטח החלקה הזו. כמה אקרים היא הכילה?

    מקורות:

  • האחוזה של החוואי וורצל

     

    אציג כעת בעיית שטח נוספת. ההדגמה של התשובה שאציג, אני חושב, תימצא גם מעניינת וגם קלה להבנה.

    החוואי וורצל היה הבעלים של שלושה שדות מרובעים כפי שמוצג בתוכנית המצורפת, המכילים בהתאמה `18, 20`, ו-`26` אקרים. כדי להקיף את רכושו בגדר טבעת, הוא קנה את ארבעת השדות המשולשים המפרידים. החידה היא לגלות מה היה אז השטח הכולל של האחוזה שלו.

    מקורות:

  • חידת הירח

    הנה חידה גיאומטרית קלה. הירח נוצר על ידי שני מעגלים, ו-C הוא מרכז המעגל הגדול יותר. רוחב הירח בין B ל-D הוא `9` אינץ', ובין E ל-F הוא `5` אינץ'. מהם הקטרים של שני המעגלים? מקורות:

  • קיר החידה

    היה אגם קטן, סביבו בנו ארבעה אנשים עניים את בקתותיהם. ארבעה אנשים עשירים בנו לאחר מכן את אחוזותיהם, כפי שמוצג באיור, והם רצו שהאגם יהיה רק לרשותם, ולכן הורו לבנאי להקים את החומה הקצרה ביותר האפשרית שתמנע מהבעלים של הבקתות גישה לאגם, אך תעניק להם גישה חופשית לאגם. איך היה צריך לבנות את החומה? מקורות:

  • מִכְלָא הַצֹּאן

    זהו עובדה מוזרה שהתשובות שניתנות תמיד לכמה מהחידות הידועות ביותר המופיעות בכל ספר קטן של שעשועי בית שפורסם בחמישים או מאה השנים האחרונות הן או בלתי מספקות לחלוטין או שגויות בבירור. עם זאת, נראה שאף אחד לא מבחין בפגמים שלהן. הנה דוגמה: - לחקלאי היה מכלאה העשויה מחמישים גדרות, המסוגלת להכיל רק מאה כבשים. נניח שהוא רצה להגדיל אותו מספיק כדי להכיל כפול ממספר זה, כמה גדרות נוספות הוא צריך? מקורות:

  • חומות הגן

     

    יזם נדל"ן ספקולטיבי מחזיק בשדה עגול, עליו הקים ארבעה קוטג'ים, כפי שמוצג באיור. השדה מוקף בחומה מלבנים, והבעלים התחייב להקים עוד שלושה קירות לבנים, כך שהשכנים לא יוכלו להציץ אחד לשני, אך ארבעת הדיירים מתעקשים שלא תהיה אפליה, ושלכל אחד יהיה בדיוק אותו אורך שטח קיר לעצי הפרי שלו. החידה היא להראות כיצד ניתן לבנות את שלושת הקירות כך שלכל דייר יהיה אותו שטח אדמה, ובדיוק אותו אורך של קיר.

    כמובן, כל גן חייב להיות סגור לחלוטין על ידי קירותיו, וחייב להיות אפשרי להוכיח שלכל גן יש בדיוק אותו אורך של קיר. אם החידה נפתרת כראוי, אין צורך במספרים.

    מקורות:

  • הגן של ליידי בלינדה

    ליידי בלינדה היא גננת נלהבת. באיור היא מתוארת כשהיא שקועה בפתרון בעיה קטנה ומהנה שאותה אספר. אחד הגנים שלה הוא בצורת מלבן, מוקף בגדר חיה גבוהה של צמח ההולי, והיא הופכת אותו לגינת ורדים לטיפוח כמה מזני הורדים המשובחים ביותר שלה. היא רוצה להקדיש בדיוק מחצית משטח הגן לפרחים, בערוגה גדולה אחת, ואת המחצית השנייה לשביל המקיף אותו מכל צדדיו ברוחב שווה. גן כזה מוצג בתרשים בתחתית התמונה. כיצד עליה לסמן את הגן בתנאים פשוטים אלה? יש לה רק סרט מדידה, באורך הגן, כדי לעשות זאת, ומכיוון שגדר ההולי עבה וצפופה מאוד, עליה לבצע את כל המדידות בפנים. ליידי בלינדה לא ידעה את המידות המדויקות של הגן, ומכיוון שלא היה צורך שתדע, גם אני לא מציין מידות. זו משימה פשוטה למדי, לא משנה מה גודל או פרופורציות הגן. עם זאת, כמה גננות היו יודעות בדיוק כיצד להמשיך? סרט המדידה יכול להיות פשוט למדי - כלומר, אין צורך שיהיה מדד מדורג. מקורות:

  • העז הקשורה

    הנה בעיה קטנה שכל אחד צריך לדעת איך לפתור. העז ממוקמת באחו בשטח של חצי אקר, אשר צורתו משולש שווה צלעות. היא קשורה לעמוד בפינה אחת של השדה. מה צריך להיות אורך החבל (באינץ' הקרוב ביותר) כדי שהעז תוכל לאכול רק חצי מהדשא בשדה? ההנחה היא שהעז יכולה לאכול עד סוף החבל. מקורות: