גאומטריה

גאומטריה היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות וביחסים של נקודות, קווים, משטחים, גופים ואנלוגים ממדיים גבוהים יותר. שאלות צפויות כוללות חישוב אורכים, זוויות, שטחים ונפחים של צורות שונות, הבנת משפטים גאומטריים ופתרון בעיות הקשורות לחשיבה מרחבית.

גאומטריה במרחב טריגונומטריה גאומטריה על כדור גאומטריה במישור ווקטורים

  • צביעת פירמידה

    חידה זו עוסקת בצביעת ארבעת צדדיו של טטרהדרון, או פירמידה משולשת. אם תגזרו חתיכת קרטון בצורה משולשת כפי שמוצג באיור `1`, ואז תחצו אותה לאורך הקווים המקווקווים, היא תתקפל ותצור פירמידה משולשת מושלמת. ברצוני להזכיר לקוראיי שצבעי היסוד של הספקטרום הסולארי הם שבעה - סגול, אינדיגו, כחול, ירוק, צהוב, כתום ואדום. כשהייתי ילד לימדו אותי לזכור אותם באמצעות המילה המגושמת שנוצרה על ידי ראשי התיבות של הצבעים, "Vibgyor". בכמה דרכים שונות ניתן לצבוע את הפירמידה המשולשת, תוך שימוש בכל מקרה בצבע אחד, שניים, שלושה או ארבעה מצבעי הספקטרום הסולארי? כמובן שצד יכול לקבל רק צבע בודד, ואף צד לא יכול להישאר לא צבוע. אבל יש נקודה אחת שאני חייב להבהיר. אין לראות בארבעת הצדדים כנפרדים מבחינה אינדיבידואלית. כלומר, אם תצבעו את הפירמידה שלכם כפי שמוצג באיור `2` (כאשר הצד התחתון ירוק והצד השני שאינו נראה הוא צהוב), ואז תצבעו אחרת בסדר המוצג באיור `3`, אלה באמת אותו הדבר ונספרים כדרך אחת. כי אם תטו את מס' `2` ימינה, הוא ייפול כך שייצג את מס' `3`. הימנעות מחזרות מסוג זה היא החידה האמיתית של העניין. אם לא ניתן למקם פירמידה צבעונית כך שתדמה בדיוק בצבעיה ובסדר היחסי שלהם לפירמידה אחרת, אז הן שונות. זכרו שדרך אחת תהיה לצבוע את כל ארבעת הצדדים באדום, אחרת לצבוע שני צדדים בירוק, ואת הצדדים הנותרים בצהוב וכחול; וכן הלאה. מקורות:

  • שאלה

    משולש שרירותי מעבירים משיקים למעגל החסום, במקביל לצלעות המשולש. המשיקים האלה חותכים מהמשולש המקורי שלושה משולשים קטנים. הוכיחו כי סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים במשולשים האלה שווה לרדיוס המעגל החסום במשולש המקורי.

  • שאלה

    ניקח משושה שרירותי ונסמן את אמצעי הצלעות שלו דרך `M_1,M_2,M_3,M_4,M_5,M_6`. הוכיחו כי הקטעים `M_1M_2`, `M_3M_4` ו-`M_5M_6` ניתן להרכיב משולש אפילו בלי לסובב את הקטעים האלה.

  • טיול במישור

    נתונה במישור מערכת צירים x-y. יש להגיע מהנקודה (1,0) אל הנקודה (2006,2005), כאשר בכל מהלך מותר לנוע יחידה אחת מעלה (בכיוון החיובי של y) או יחידה אחת ימינה (בכיוון החיובי של ציר א).

    א. בכמה מסלולים שונים ניתן לבצע את המשימה?

    ב. בכמה מסלולים שונים ניתן לבצע את המשימה אם אסור באף שלב לעבור דרך נקודה הנמצאת על הישר x=y?

    מקורות:

  • חידת חולבת הפרות

    הנה חידה כפרית קטנה, אשר במבט ראשון עשויה להוביל את הקורא להניח שהיא מעמיקה מאוד, וכוללת חישובים מורכבים. הוא אף עשוי לטעון שאי אפשר לתת תשובה כלשהי אלא אם כן נאמר לנו משהו מוגדר לגבי המרחקים. ובכל זאת היא ממש "ילדותית ותמימה."

     

    בפינת שדה נראית חולבת חולבת פרה, ובצד השני של השדה נמצאת המחלבה, לשם יש להעביר את החלב. אבל שמו לב שהאישה הצעירה תמיד יורדת לנהר עם הדלי שלה לפני שהיא חוזרת למחלבה. כאן הקורא החשדן אולי ישאל מדוע היא מבקרת בנהר. אני יכול רק לענות שזה לא ענייננו. החלב לכאורה מיועד כולו לצריכה מקומית.

    "לאן את הולכת, עלמה יפה שלי?"
    "לנהר, אדוני," היא אמרה.
    "אני לא אבחר את המחלבה שלך, עלמה יפה שלי."
    "אף אחד לא שאל אותך, אדוני," היא אמרה.


    אם למישהו הייתה סקרנות בעניין, רוח עצמאית כזו תנטרל אותו לחלוטין. אז נעבור מנקודת המבט של מוסר מסחרי לנושא החידה.

    מתחו קו משרפרף החליבה אל הנהר ומשם אל דלת המחלבה, אשר יציין את המסלול הקצר ביותר האפשרי עבור החולבת. זה הכל. קל מאוד לציין את הנקודה המדויקת על גדת הנהר שאליה עליה לכוון את צעדיה אם היא רוצה את ההליכה הקצרה ביותר האפשרית. האם אתה יכול למצוא את הנקודה הזו?

    מקורות:

  • הזבוב על האוקטהדרון

    "תראה," אמר הפרופסור לעמיתו, "אני צופה בזבוב הזה על האוקטהדרון, והוא מגביל את הליכותיו אך ורק לקצוות. מה יכולה להיות הסיבה שלו להימנע מהצדדים?"

    "אולי הוא מנסה לפתור איזושהי בעיית מסלול," הציע השני. "בהנחה שהוא מתחיל מנקודת העליונה, כמה מסלולים שונים יש שבהם הוא יכול ללכת על כל הקצוות, מבלי ללכת פעמיים לאורך אותו קצה בכל מסלול?"

     

    הבעיה הייתה קשה יותר ממה שהם ציפו, ולאחר שעבדו עליה ברגעי הפנאי במשך מספר ימים התוצאות שלהם לא הסכימו — למעשה, שניהם טעו. אם הקורא מופתע מכישלונם, שינסה בעצמו את החידה הקטנה. אסביר רק שהאוקטהדרון הוא אחד מחמשת הגופים הרגילים, או האפלטוניים, והוא תחום תחת שמונה משולשים שווים ושווי צלעות. אם תגזור את שני חלקי הקרטון בצורה המוצגת בשולי האיור, תגזור חצי דרך לאורך הקווים המקווקווים ואז תכופף אותם ותחבר אותם, תקבל אוקטהדרון מושלם. בכל מסלול על פני כל הקצוות יתגלה שהזבוב חייב להסתיים בנקודת המוצא בראש.

    מקורות:

  • הפאזל של האיקוסהדרון

    האיקוסהדרון הוא עוד אחד מחמשת הגופים הרגילים, או האפלטוניים, שכל צדדיהם, זוויותיהם ומישוריהם דומים ושווים. הוא תחום על ידי עשרים משולשים שווי צלעות דומים. אם תגזרו חתיכת קרטון בצורה המוצגת בדיאגרמה הקטנה יותר, ותחתכו חצי עובי לאורך הקווים המקווקווים, היא תתקפל ותיצור איקוסהדרון מושלם.

    ובכן, גוף אפלטוני לא בהכרח מציין גוף שמימי; אבל זה יתאים למטרת הפאזל שלנו אם נניח שיש כוכב לכת ראוי למגורים בצורה הזו. נניח גם שבשל שפע מים, היבשה היחידה נמצאת לאורך הקצוות, ושלתושבים אין ידע בניווט. אם כל אחד מהקצוות האלה באורך `10,000` מיילים, ומטייל בודד ממוקם בקוטב הצפוני (הנקודה הגבוהה ביותר המוצגת), כמה רחוק הוא יצטרך לנסוע לפני שהוא יבקר בכל חלק ראוי למגורים בכוכב הלכת — כלומר, יחצה כל אחד מהקצוות?

    מקורות: