לוגיקה

לוגיקה היא חקר ההיגיון והסקת מסקנות תקפה. היא כוללת ניתוח טענות, טיעונים ותהליכים דדוקטיביים. שאלות עשויות לכלול פתרון חידות היגיון, הערכת אמיתותן של טענות מורכבות, שימוש בטבלאות אמת וזיהוי כשלים לוגיים.

• צעצועים

  ליונתן יש אוסף של צעצועי עץ. חלקם קוביות וחלקם כדורים, חלקם אדומים וחלקם כחולים.

  ידוע שיש יותר כדורים מאשר קוביות, וידוע שיש יותר צעצועים כחולים מאשר צעצועים אדומים.

  הוכיחו כי יש ליונתן כדור כחול.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 1

• תמנוני הקסם

  בים הקסום חיים תמנונים שיודעים לדבר. כל תמנון או תמיד דובר אמת, או תמיד משקר. יום אחד
  התקיימה השיחה הבאה בין ארבעה תמנונים, אבי, בני, גידי ודני:

  
  אבי: אני תמנון ירוק
  בני: אני לא ירוק
  גידי: כל התמנונים הירוקים שקרנים
  דני: רק תמנון ירוק יכול להיות שקרן

  
  ידוע שרק אחד מארבעה אלה שקרן, והשאר דוברי אמת.
  א. מי הוא השקרן מבין ארבעה החברים? נמקו!
  ב. האם ניתן לדעת מה הצבע שלו?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 6
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 4

• בול עץ

  ברשותכם בול עץ ארוך מאוד. האם תוכלו למדוד ממנו מטר אחד בדיוק,אם יש לכם לצורך זה
  א. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 40 סנטימטרים,
  ב. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 30 סנטימטרים,

  במידה ואין לכם שום כלי מדידה נוספים? נמקו!

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 7
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 2

• בוחן

  בכיתה של 25 תלמידים התקיים בוחן המורכב מ-7 שאלות. הוכיחו כי לפחות אחד משני המשפטים הבאים נכון:

  1. יש ילד שפתר מספר אי זוגי של שאלות
  2. יש שאלה שפתרו אותה מספר זוגי של ילדים
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 5

• מעגל שקרנים - טענת האמת

  במעגל יושבים n אנשים, כל אחד מהם הוא שקרן או דובר אמת.

  האנשים מסתכלים למרכז המעגל. שקרן תמיד משקר, ודובר אמת תמיד אומר אמת.

  כל אחד מהאנשים יודע בדיוק מי דובר שקר ומי דובר אמת.

  כל אחד מהאנשים אומר שהאיש שיושב שני מקומות לשמאלו (זאת אומרת ליד האיש שיושב לידו), הוא דובר אמת.

  ידוע שבמעגל יש לפחות שקרן אחד, ולפחות דובר אמת אחד.

  א. האם ייתכן ש-2017 = n?

  ב. האם ייתכן ש-5778 = n?

  (פורמט פתרון: "מילה, מילה" למשל "חתול, כלבלב")

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ח שאלה 1

• רשת מספרים

  בציור המספרים על הצלעות מסמנים הפרשים בין מספרים בתוך העיגולים. הציבו בתוך העיגולים מספרים חיוביים וגלו מה הוא המספר בעיגול התחתון ביותר

  

  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 6

• שאלה

  על הלוח כתוב מספר דו ספרתי.
  אבי אמר: "ספרת היחידות של המספר היא 3"
  בני אמר: "זה מספר ריבועי"
  גילי אמרה: "המספר הזה הוא כפולה של 12"
  אז המורה אמרה: "יש פה שני משפטים נכונים ואחד שגוי".
  איזה מספר היה כתוב על הלוח?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 1

• שאלה

  ורד החסירה ממספר תלת ספרתי את המספר המורכב מאותן הספרות שכתובות בסדר הפוך.
  כתוצאה היא קיבלה מספר דו ספרתי. מצאו את המספר הדו ספרתי שהיא קיבלה.

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה לוגיקה -> הגיון
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 2

• שאלה

  על הלוח כתוב מספר דו ספרתי.
  אבי אמר: "במספר הזה מופיעה הספרה 5"
  בני אמר: "זה הוא מספר ריבועי"
  גילי אמרה: "המספר הזה גדול מ-50"
  דני אמר: "המספר מתחלק ב-7."
  אז המורה אמרה: "יש פה שלושה משפטים נכונים ואחד שגוי".
  איזה מספר היה כתוב על הלוח?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 1

• טבלה מינימלית

  נתונה טבלה בגודל `3 times 3`. הילה רוצה לרשום במשבצות הטבלה ספרות מ-1 עד 9, כך שכל הסכומים בשורות ובעמודות של הטבלה יהיו שונים, והסכום הכולל של הטבלה יהיה קטן ככל האפשר.
  מותר לחזור על אותה ספרה מספר פעמים. מה הוא הסכום הקטן ביותר שהילה יכולה לקבל?

  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 7