לוגיקה

לוגיקה היא חקר ההיגיון והסקת מסקנות תקפה. היא כוללת ניתוח טענות, טיעונים ותהליכים דדוקטיביים. שאלות עשויות לכלול פתרון חידות היגיון, הערכת אמיתותן של טענות מורכבות, שימוש בטבלאות אמת וזיהוי כשלים לוגיים.

• שאלה

  בתרגיל החיבור הבא צורות שונות מחליפות ספרות שונות וצורות זהות מחליפות ספרות זהות:

  `triangle square triangle square triangle+ square triangle square triangle square = o+ triangle triangle triangle triangle o+`

  מהי תוצאת החיבור?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות לוגיקה -> הגיון חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 3

• רחוב צבעוני

  לאורך הרחוב ממוקמים 16 בתים, בצבעים אדום, כחול וירוק.יש לפחות בית אחד מכל צבע. אין שני בתים סמוכים בצבע זהה.
  בין כל שני בתים כחולים יש בית אדום. בין כל שני בתים ירוקים יש בית כחול ובית אדום.
  מהו המספר הגדול ביותר של בתים ירוקים שיכול להיות?
  הערה: הרחוב ישר, כל הבתים ממוקמים בצד אחד של הרחוב.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 6

• סקר האמת והשקר

  13 דוברי אמת ו-12 שקרנים השתתפו בסקר. במסגרת הסקר, כל אחד נשאל לגבי כל אחד (כולל עצמו), האם מדובר על דובר אמת. כמה תשובות "כן" התקבלו בסקר בסך הכל?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 2

• מספרים פריקים זרים

  יוסי רושם על הלוח מספרים דו ספרתיים פריקים (לא ראשוניים). הוא רוצה שכל המספרים הכתובים על הלוח יהיו זרים זה לזה.
  כמה מספרים יוסי יוכל לכתוב על הלוח לכל היותר?
  הערה: מספרים נקראים זרים, אם אין להם גורמים משותפים חוץ מהמספר 1.

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 4

• ספרת היחידות

  למרים יש שמונה כרטיסים עם מספרים תלת ספרתיים עוקבים. ספרת היחידות של המספר הקטן ביותר היא 1,
  ספרת היחידות של המספר הגדול ביותר היא 8. מרים סדרה את הכרטיסים בשורה כך שהמספר הראשון מתחלק ב-2,
  המספר השני מתחלק ב-3, המספר השלישי מתחלק ב-4, וכן הלאה עד המספר השמיני שמתחלק ב-9.
  מהי ספרת היחידות של המספר שמתחלק ב-7?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 6

• שקילת מטבעות

  נתונים שבעה מטבעות זהים למראה, ארבעה מתוכם אמיתיים ושלושה מזויפים. שלושת המטבעות המזויפים זהים במשקלם וכן ארבעת המטבעות האמיתיים.
  ידוע כי מטבע מזויף קל יותר ממטבע אמיתי. בשקילה אחת ניתן לבחור בשתי קבוצות של מטבעות ולבדוק מי מהן קלה יותר, או אם משקלן זהה.
  כמה שקילות נחוצות על מנת לאתר מטבע מזויף אחד לפחות.

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת האלגוריתמים -> שקילות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 1

• חוגי הילדים

  בגן ילדים מתקיימים שלושה חוגים: ג'ודו, חקלאות ומתמטיקה. כל ילד משתתף בחוג אחד בדיוק ובכל חוג יש לפחות משתתף אחד. מספר הילדים בגן הוא 32. ביום שישי הגננת אספה 6 ילדים שיסדרו את הכיתה. הגננת ספרה וגילתה כי בדיוק חצי מתלמידי החוג לג'ודו, רבע מתלמידי החוג לחקלאות ושמינית מתלמידי החוג למתמטיקה נרתמו למשימה. כמה תלמידים יש בכל חוג?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> שברים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 1

• ציור של קשר

  נתון לוח משבצות בגודל 5x5 שמחולק למשבצות 1x1. שתי משבצות נקראות קשורות אם הן נמצאות באותה שורה או באותה עמודה, והמרחק בין מרכזי המשבצות הוא 2 או 3.
  לדוגמה, בציור מסומנות בצבע אפור כל המשבצות הקשורות למשבצת האדומה. סמי מקבל לוח לבן, ורוצה לסמן עליו כמה שיותר משבצות שאף שתיים מהן אינן קשורות זו לזו. מהי הכמות המרבית של משבצות שהוא יכול לסמן?
  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 2

• שיוויון בשלבים

  על הלוח כתובים המספרים 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ודוד אמור לשנות אותם בשלבים. בכל שלב מותר לדוד לבחור שני מספריים ולשנות אותם ב 1, כלומר להוסיף לשניהם 1, להחסיר משניהם 1, או להוסיף לאחד 1 ולהחסיר מהשני 1.

  האם דוד יוכל אחרי מספר שלבים להגיע למצב שבו כל המספרים על הלוח שווים? אם כן תראו דוגמא ואם לא נמקו את תשובתכם בפירוט.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2017, צעירים שאלה 3

• ריצוף משושה

  נתונים שני סוגים של מרצפות. צורתה של כל מרצפת מהסוג הראשון היא משושה משוכלל בעל צלע באורך 1. צורתה של כל מרצפת מהסוג השני היא משושה משוכלל בעל צלע באורך 2. נתון מלאי בלתי מוגבל של מרצפות מכל אחד מהסוגים. האם ניתן לרצף את כל המישור באמצעות מרצפות אלו, תוך שימוש בכל אחד משני סוגי המרצפות?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 4