לוגיקה

לוגיקה היא חקר ההיגיון והסקת מסקנות תקפה. היא כוללת ניתוח טענות, טיעונים ותהליכים דדוקטיביים. שאלות עשויות לכלול פתרון חידות היגיון, הערכת אמיתותן של טענות מורכבות, שימוש בטבלאות אמת וזיהוי כשלים לוגיים.

הגיון דוברי אמת ושקרנים

  • חידת הסיגר

    הצעתי פעם את החידה הבאה במועדון לונדוני, ולתקופה ניכרת היא ספגה את תשומת הלב של החברים. הם לא הצליחו להבין אותה, וחשבו שהיא בלתי אפשרית לפתרון. ובכל זאת, כפי שאראה, התשובה פשוטה להפליא.

    שני אנשים יושבים ליד שולחן מרובע. אחד מניח סיגר רגיל (שטוח בקצה אחד, מחודד בקצה השני) על השולחן, ואז השני עושה את אותו הדבר, וכן הלאה לסירוגין, בתנאי שאף סיגר לא יגע באחר. איזה שחקן יצליח להניח את הסיגר האחרון, בהנחה שכל אחד מהם ישחק בצורה הטובה ביותר האפשרית? גודל פני השולחן וגודל הסיגר אינם נתונים, אך כדי לשלול את התשובה המגוחכת שהשולחן עשוי להיות כה קטן עד שהוא יכול להכיל רק סיגר אחד, נאמר שהשולחן לא יהיה קטן מ- `2` רגל מרובע והסיגר לא יותר מ- `4`½ אינץ' אורך. עם ההגבלות האלה אתה יכול לקחת כל מימד שתרצה. כמובן שאנו מניחים שכל הסיגרים זהים לחלוטין בכל מובן. האם השחקן הראשון או השחקן השני ינצח?

    מקורות:

  • שמונה אסירים עליזים

     

    האיור מציג תוכנית של בית סוהר המכיל תשעה תאים, כולם מקושרים זה לזה באמצעות פתחי דלתות. לשמונת האסירים יש מספרים על גבם, ומותר לכל אחד מהם להתעמל בכל תא שמתפנה, בכפוף לכלל שבאף זמן נתון לא יהיו שני אסירים באותו תא. המלך העליז שבתחום שלטונו היה ממוקם בית הסוהר הציע להם נוחיות מיוחדות בערב חג המולד אחד, אם, מבלי להפר את הכלל הזה, הם יוכלו למקם את עצמם כך שמספריהם ייצרו ריבוע קסם.

    כעת, לאסיר מספר `7` היה ידע רב על ריבועי קסם, ולכן הוא פיתח תוכנית ובחר באופן טבעי בשיטה המהירה ביותר—כלומר, כזו הכוללת את המספר הקטן ביותר האפשרי של מעברים מתא לתא. אבל אחד האנשים היה ממורמר, עקשן (בלתי מתאים לחלוטין לחברתם של חבריו העליזים), והוא סירב לצאת מתאו או לקחת חלק כלשהו בהליכים. אבל מספר `7` היה שווה ערך לחלוטין למצב החירום, וגילה שהוא עדיין יכול לעשות את מה שנדרש במספר המועט ביותר האפשרי של מהלכים, מבלי להטריד את הבהמה לעזוב את תאו. החידה היא להראות איך הוא עשה זאת, ואגב כך, לגלות איזה אסיר היה טיפש ועקשן כל כך. האם תוכלו למצוא את הבחור?

    מקורות:

  • הצינוק הספרדי

    לא רחוק מחמישים מייל מקדיז ניצב בימי הביניים מבצר, שכל עקבותיו נעלמו במשך מאות שנים. בין שאר המאפיינים המעניינים, המבצר הזה הכיל צינוק לא נעים במיוחד, המחולק לשישה עשר תאים, כולם מתקשרים זה עם זה, כפי שמוצג באיור.

    עתה, המושל היה עליז, וחובב חידות גדול. יום אחד הוא הלך לצינוק ואמר לאסירים, "בחיי!" (או המקבילה שלו בספרדית) "כולכם תשוחררו אם תוכלו לפתור את החידה הזו. עליכם לסדר את עצמכם בשישה עשר התאים כך שהמספרים על גבכם יהוו ריבוע קסם שבו כל טור, כל שורה וכל אחד משני האלכסונים יסתכמו לאותו מספר. רק זכרו זאת: שאף אחד מכם לא יהיה ביחד באותו תא."

    אחד האסירים, לאחר שעבד על הבעיה במשך יומיים או שלושה, עם חתיכת גיר, לקח על עצמו להשיג את חירותו וחירות חבריו האסירים אם הם ילכו בעקבות הוראותיו ויעברו דרך הפתח מתא לתא בסדר שבו יקרא את המספרים שלהם. 

     

    הוא הצליח בניסיונו, ומה שמרשים יותר, כך נראה מהתיאור של שיטתו שנרשם בכתב היד העתיק שלפניי, שהוא עשה זאת במספר המהלכים המועט ביותר האפשרי. הקורא מתבקש להראות מה היו המהלכים האלה.

    מקורות:

  • מי היה הראשון?

    אנדרסון, ביגס וקרפנטר שהו יחד במקום ליד הים. יום אחד הם יצאו בסירה והיו במרחק מייל אחד מהחוף כאשר נורתה רובה לעברם. מדוע או על ידי מי נורתה הירייה למרבה המזל לא מעניין אותנו, מכיוון שאין מידע על נקודות אלה, אך מהעובדות שאספתי נוכל להשיג חומר לפאזל קטן וסקרן למתחילים.

    נראה שאנדרסון רק שמע את קול הירי, ביגס רק ראה את העשן, וקרפנטר רק ראה את הכדור פוגע במים לידם. כעת, עולה השאלה: מי מהם ידע ראשון על ירי הרובה?

    נושאים:
    לוגיקה -> הגיון
    מקורות:

  • חידת השבת

    נתקלתי בחידה קטנה זו בספר ישן. אני תוהה כמה קוראים יראו את הפתרון שהמחבר התכוון אליו. 

    הנוצרים את היום הראשון בשבוע כשבת יחזיקו;
    היהודים את השביעי, כפי שעשו מקדמת דנא;
    הטורקים את השישי, כפי שנאמר לנו לעתים קרובות.
    כיצד יכולים שלושתם, באותו מקום ויום,
    שלכל אחד תהיה השבת האמיתית שלו? אמור, אני מתפלל.

    מקורות:

  • סיכת הָאֹדֶם

    בְּתוֹךְ דַּפֵּי יַעֲקוֹב סְקוֹטְלַנְד יַארְד נִמְצָאִים מִקְרֵי שׁוֹד תַּכְשִׁיטִים מְרַשְּׁמִים, אַךְ אֶחָד הַמְּסֻבָּכִים בְּיוֹתֵר הָיָה גְּנֵבַת הָאֲדָמִים שֶׁל לֵיְדִי לִיטֶלְוּוּד. הָיוּ, כַּמּוּבָן, גְּנֵבוֹת גְּדוֹלוֹת יוֹתֵר בְּמֻנָּחִים שֶׁל עֵרֶךְ, אַךְ מְעַטּוֹת הָיוּ מְפֻתָּלוֹת כָּל כָּךְ. לֵיְדִי לִיטֶלְוּוּד, מֵאֲחֻזַּת רוֹמְלִי, הָיְתָה יְרוּשָׁה יָפָה אַךְ קִיקְיוֹנִית מְעַט בְּצוּרַת סִיכַּת אֹדֶם. בְּעֵת שֶׁשָּׁהֲתָה בְּבֵיתָהּ שֶׁבָּעִיר בִּתְחִלַּת שְׁנוֹת הַשְּׁמוֹנִים הִיא לָקְחָה אֶת הַתַּכְשִׁיט לְחָנוּת בְּבְּרוֹמְפְּטוֹן לְתִקּוּנִים קַלִּים מְעַטִּים.

    "אֹסֶף מְעֻלֶּה שֶׁל אֲדָמִים, גְּבֶרֶת," אָמַר בַּעַל הַחֲנוּת, שֶׁלִּגְבִרְתָּהּ הָיָה זָר.

    "כֵּן," הֵשִׁיבָה; "אֲבָל דַּי לִפְלִיאָה כִּי לֹא סָפַרְתִּי אוֹתָם מַמָּשׁ אַף פַּעַם. אִמִּי הִצְבִּיעָה לְפָנַי פַּעַם שֶׁאִם מַתְחִילִים מֵהַמֶּרְכָּז וְסוֹפְרִים קַו אֶחָד לְמַעְלָה, לְאֹרֶךְ הַקָּצֶה וּלְמַטָּה בַּקַּו הַבָּא, תָּמִיד יֵשׁ שְׁמוֹנָה אֲדָמִים. כָּךְ תָּמִיד אֵדַע אִם חֲסֵרָה אֶבֶן.

     

    שִׁשָּׁה חֳדָשִׁים לְאַחַר מִכֵּן אָח שֶׁל לֵיְדִי לִיטֶלְוּוּד, שֶׁחָזַר מֵהָרֶגִימֶנְט שֶׁלּוֹ בְּהוֹדּוּ, שָׂם לֵב שֶׁאֲחוֹתוֹ עוֹנֶדֶת אֶת סִיכַּת הָאֹדֶם בְּאֶחָד הַלֵּילוֹת בְּנֶשֶׁף מְחוֹזִי, וּבַחֲזָרָתָם הַבַּיְתָה בִּקֵּשׁ לְהִסְתַּכֵּל בָּהּ מִקָּרוֹב יוֹתֵר. מִיָּד גִּלָּה אֶת הָעֻבְדָּה שֶׁאַרְבַּע מֵהָאֲבָנִים נֶעֶלְמוּ.

    "אֵיךְ זֶה אֶפְשָׁר?" אָמְרָה לֵיְדִי לִיטֶלְוּוּד. "אִם סוֹפְרִים קַו אֶחָד מֵהַמֶּרְכָּז, לְאֹרֶךְ הַקָּצֶה, וּלְמַטָּה בַּקַּו הַבָּא, בְּכָל כִּוּוּן, תָּמִיד יֵשׁ שְׁמוֹנֶה אֲבָנִים. זֶה תָּמִיד הָיָה כָּךְ וְכָךְ זֶה עַכְשָׁו. אֵיךְ אֵפוֹא אֶפְשָׁר לְהָסִיר אֶבֶן בְּלִי שֶׁאֲגַלֶּה אוֹתָהּ?"

    "שׁוּם דָּבָר לֹא יָכוֹל לִהְיוֹת פָּשׁוּט יוֹתֵר," הֵשִׁיב הָאָח. "אֲנִי מַכִּיר אֶת הַסִּיכָּה הֵיטֵב. בְּמָקוֹר הִיא הִכִּילָה אַרְבָּעִים וְחָמֵשׁ אֲבָנִים, וְעַכְשָׁו יֵשׁ רַק אַרְבָּעִים וְאַחַת. מִישֶׁהוּ גָּנַב אַרְבָּעָה אֲדָמִים, וְאָז הִתְקִין מֵחָדָשׁ מִסְפָּר קָטָן כְּכָל הָאֶפְשָׁר שֶׁל הָאֲחֵרוֹת בְּצוּרָה שֶׁתָּמִיד יִהְיוּ שְׁמוֹנֶה בְּכָל אֶחָד מֵהַכִּוּוּנִים שֶׁצִּיַּנְתְּ."

    לֹא הָיָה סָפֵק קַל שֶׁצּוֹרֵף בְּרוֹמְפְּטוֹן הָיָה הַגַּנָּב, וְהָעִנְיָן הֻנַּח בִּידֵי הַמִּשְׁטָרָה. אֲבָל הָאִישׁ הָיָה דָּרוּשׁ לְגְנֵבוֹת אֲחֵרוֹת, וְעָזַב אֶת הַשְּׁכוּנָה כְּבָר לִפְנֵי זְמַן מָה. עַד הַיּוֹם הַזֶּה הוּא מֵעוֹלָם לֹא נִמְצָא.

    הַנְּקֻדָּה הַקְּטַנָּה הַמְּעַנְיֶנֶת שֶׁתְּחִלָּה תִּסְכְּלָה אֶת הַמִּשְׁטָרָה, וְשֶׁמְּעַצֶּבֶת אֶת נוֹשֵׂא הַחִידָה שֶׁלָּנוּ, הִיא זוֹ: אֵיךְ סֻדְּרוּ בְּמָקוֹר אַרְבָּעִים וְחָמֵשׁ הָאֲדָמִים עַל הַסִּיכָּה? הַתַּרְשִׁים מַרְאֶה בְּדִיּוּק אֵיךְ סֻדְּרוּ אַרְבָּעִים וְאַחַת לְאַחַר שֶׁחָזְרָה מֵאֵת הַצּוֹרֵף; אֲבָל אַף עַל פִּי שֶׁהֵם סוֹפְרִים שְׁמוֹנֶה נָכוֹן בְּכָל אֶחָד מֵהַכִּוּוּנִים הַמֻּזְכָּרִים, חֲסֵרוֹת אַרְבַּע אֲבָנִים.

    מקורות:

  • הגנן והטבחית

    כתב לי כתב שכינה את עצמו "סיימון הפשוט", והציע שאציג חידת תחבולה מיוחדת בגיליון של השבועון ליום השוטים הבינלאומי, `1900`. אז נתתי את החידה הבאה, והיא גרמה לשעשוע רב; מתוך קהל מתחרים גדול מאוד, רבים מהם מומחים למדי, אף אדם לא פתר אותה, למרות שהיא רצה כמעט חודש.

     

    "האיור הוא סקיצה דמיונית של הכתב שלי, 'סיימון הפשוט,' מנסה לפתור את החידה האריתמטית הקטנה והתמימה הבאה. מרוץ בין גבר לאישה שהייתי עד לו באחד מיום השוטים הבינלאומי נחקק בזיכרוני. זה קרה באחוזה כפרית, שם הגנן והטבחית החליטו לרוץ לתחרות לנקודה במרחק של `100` רגל ישר וחזרה. גיליתי שהגנן רץ `3` רגל בכל צעד והטבחית רק `2` רגל, אבל אז היא עשתה שלושה צעדים לשני הצעדים שלו. עכשיו, מה הייתה תוצאת המירוץ?"

    שבועיים לאחר הפרסום הוספתי את ההערה הבאה: "הועלתה ההצעה שאולי יש תחבולה ב'חזרה', אבל אין כזו. המירוץ הוא לנקודה במרחק `100` רגל וחזרה הביתה—כלומר, מרחק של `200` רגל. כתב אחד שואל האם לוקח להם בדיוק אותו זמן להסתובב, ואני משיב שכן. נראה שאחר חושד שזה בעצם חידה, והתשובה היא ש'תוצאת המירוץ הייתה תיקו (נישואין)'. אבל לא הייתה לי כוונה כזו. החידה היא אריתמטית, כפי שהיא מתיימרת להיות."

    מקורות:

  • מצא את אשת האיש

     

    יום אחד בקיץ בשנת `1903` הסתובבתי לאורך חזית ברייטון, צופה באנשים המטיילים על החוף, כאשר ידידי שליווה אותי משך לפתע את תשומת ליבי לאדם שעמד לבדו, ואמר, "האם תוכל להצביע על אשת האיש הזה? הם שוהים באותו מלון כמוני, והגברת היא אחת מאלה שנראות." לאחר מספר דקות של תצפית, הצלחתי לציין את הגברת בצורה נכונה. ידידי היה סקרן לדעת באיזו שיטת חשיבה הגעתי לתוצאה. זו הייתה תשובתי:—

    "אנו יכולים מיד להוציא מהכלל את אחות הרחמניות ואת הילדה בשמלה הקצרה; גם את האישה המוכרת תפוזים. זו לא יכולה להיות הגברת בבגדי אלמנות. זו לא הגברת בכיסא הגלגלים, כי היא לא שוהה במלון שלך, כי במקרה ראיתי אותה יוצאת מבית פרטי הבוקר בסיוע המשרתת שלה. שתי הנשים באדום סעדו ארוחת בוקר במלון שלי הבוקר, ומכיוון שלא לבשו בגדי חוץ, אני מסיק שהן שוהות שם. לכן זה נשען בין הגברת בכחול לזו עם השמשייה הירוקה. אבל היד השמאלית שמחזיקה את השמשייה היא, אתה רואה, לא מכוסה בכפפה ואין עליה טבעת נישואין. כתוצאה מכך, אני נאלץ למסקנה שהגברת בכחול היא אשת האיש הזה—ואתה אומר שזה נכון."

    כעת, מכיוון שידידי היה אמן, ומכיוון שחשבתי שאפשר להמציא חידה משעשעת על פי קווי השאלה שלו, ביקשתי ממנו להכין לי ציור לפי כמה הנחיות שנתתי לו, ויש לי תענוג להציג את התוצרת שלו לקוראים שלי. ניתן לראות שהתמונה מציגה שישה גברים ושש נשים: מס' `1, 3, 5, 7, 9` ו-`11` הן נשים, ומס' `2, 4, 6, 8, 10` ו-`12` הם גברים. שנים עשר האנשים האלה מייצגים שישה זוגות נשואים, שכולם זרים זה לזה, אשר, בהליכה חסרת מטרה, התערבבו. אבל אנחנו עוסקים רק באיש שחובש כובע קש—מספר `10`. החידה היא למצוא את אשת האיש הזה. בחנו את שש הנשים בקפידה, ובדקו אם תוכלו לקבוע מי מהן.

    הצגתי את התמונה באותה תקופה לכמה חברים, והם הביעו דעות שונות מאוד בנושא. אחד אמר, "אני לא מאמין שהוא יתחתן עם בחורה כמו מספר `7`." אחר אמר, "אני בטוח שבחורה נחמדה כמו מספר `3` לא תתחתן עם בחור כזה!" אחר אמר, "זה חייב להיות מספר `1`, כי היא התרחקה ככל האפשר מהבהמה!" הוצע שוב, שזה חייב להיות מספר `11`, כי "נראה שהוא מסתכל לעברה;" אבל ציניקן השיב, "בגלל אותה סיבה, אם הוא באמת מסתכל עליה, אני צריך לומר שהיא לא אשתו!"

    אני משאיר כעת את השאלה בידי הקוראים שלי. מי באמת אשתו של מספר `10`?

    האיור מצומצם בהכרח מאוד מהקנה מידה הגדול שבו הוא הופיע במקור בThe Weekly Dispatch (24 במאי `1903`), אך יש לקוות שהפרטים יהיו ברורים דיים כדי לאפשר לקורא להפיק בידור מבחינתו. בכל מקרה, הפתרון הניתן יאפשר לו לעקוב אחר הנקודות בעניין.


     

    מקורות:

  • שאלה

    יום אחד הארי פוטר מצא מחברת מוזרה בה היו כתובים מאה המשפטים הבאים:

    "במחברת הזאת יש בדיוק משפט אחד שהוא שקר"

    "במחברת הזאת יש בדיוק שני משפטים שהם שקר"

    "במחברת הזאת יש בדיוק שלושה שהם שקר "

    ...

    "במחברת הזאת יש בדיוק מאה משפטים שהם שקר "

    האם יש במחברת הזאת משפטים שהם אמת, ואם כן, אז כמה? נמקו!

  • הַנְס האמיץ והחוק האכזרי

    במדינה הקסומה חי אי פעם מלך אכזר. בסביבת הארמון שלו היה גשר, והוא העמיד על הגשר שומר שקיבל פקודות הבאות: הוא חייב לשאול את כל מי שעובר בגשר, למה הוא בא לפה. אם האיש עונה שקר, צריך לתלות אותו, ואם הוא עונה אמת – צריך לערוף לו את הראש.

    יום אחד הַנְס האמיץ היה צריך לעבור במקום הזה. כאשר השומר שאל אותו: "למה באת לפה?", הנס נתן תשובה כזאת שהשומר נאלץ לשחרר אותו. מה בדיוק הנס אמר לשומר?