אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

• שאלה

  פשטו את הביטוי ומצאו את ערכו:

  `1987/(198719871987^2-198719871988*198719871986)`

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר

• שאלה

  נתון מספר ממשי `a` כך ש-`a+1/a` מספר שלם. הוכיחו כי גם `a^2+1/a^2` מספר שלם.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות הוכחה ודוגמה

• שאלה

  נתון מספר ממשי `a` כך ש-`a+1/a` מספר שלם. הוכיחו כי גם `a^n+1/a^n` שלם לכל `n` טבעי.

  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה -> אינדוקציה אלגברה -> טכניקה אלגברית הוכחה ודוגמה אלגברה -> סדרות

• שאלה

  פשטו את הביטוי:

  `1/(1-a)+1/(1+a)+2/(1+a^2)+4/(1+a^4)+8/(1+a^8)+16/(1+a^16)`

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> משוואות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• שאלה

  איזה מספר גדול יותר: `sqrt(2016+2017)` או `sqrt(2016)+sqrt(2017)`?

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים

• שאלה

  השנה יוסי השתתף באולימפיאדת מתמטיקה בפעם הראשונה. לפני האולימפיאדה התקיים סקר בו כל משתתף נשאל לאיזה מקום, לדעתו, הוא יגיע. יוסי ענה שהוא כנראה יהיה במקום האחרון. אחרי התחרות עצמה הסתבר שכל משתתף, חוץ מיוסי, הגיע למקום פחות טוב ממה שהוא ענה בסקר. איזה מקום לקח יוסי באולימפיאדה?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון

• שאלה

  על הלוח רשום מספר דו ספרתי. אבי טוען שספרת האחדות של המספר גדולה פי שניים מספרת העשרות. בני טוען כי המספר מתחלק ב-`9`. גל טוען כי המספר מתחלק ב-`4`. דני טוען כי המספר מתחלק ב-`27`. ידוע כי אחד מהם טועה, והשאר צודקים. איזה מספר כתוב על הלוח?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-2, 4 ו-8 תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה

  על הלוח כתובים המספרים: `1, 2, 3, …, 2016, 2017`. תוך מהלך אחד מותר לבחור זוג מספרים שכתובים על הלוח, למחוק אותם ולרשום במקומם את ההפרש שלהם (החיובי). אחרי מספר פעולות כאלו נשאר על הלוח מספר בודד. האם יתכן שזה אפס?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> אינדוקציה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  האם קיימת סדרה חשבונית אינסופית שמורכבת ממספרים ראשוניים בלבד?

  הערה: לא נתיחס לסדרות חשבוניות "טריוויאליות", שהן קבועות.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  בכמה סכום כל המספרים הזוגיים שלא עוברים את `100` גדול יותר מסכום כל המספרים האי זוגיים שלא עוברים את `100`?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> ספירה כפולה אלגברה -> טכניקה אלגברית לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית