אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

• שאלה

  הוכיחו כי 

  `1+3+5+...+(2n-1)=n^2`

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית

• דובדבנים ואוכמניות

  `175` ק"ג דובדבנים עולים יותר מ-`125` ק"ג אוכמניות, אבל פחות מ-`126` ק"ג אוכמניות. בנוסף, ידוע שקילוגרם של דובדבנים עולה מספר שלם של שקלים, וגם קילוגרם של אוכמניות עולה מספר שלם של שקלים.

  הוכיחו כי `80` שקלים זה לא מספיק כדי לקנות קילוגרם אחד של אוכמניות ושלושה קילוגרמים של דובדבנים.

  ס.פומין

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 1 נקודות 3

• מסגרת

  על דף משבצות נתון ריבוע בגודל `NxxN`. נתבנן במסגרת שלו בעובי של משבצת אחת. היא מורכבת מ-`4*(N-1)` משבצות.

  האם תוכלו לרשום במשבצות של המסגרת `4*(N-1)` מספרים שלמים עוקבים (לא בהכרח חיוביים), כך שיתקיים התנאי הבא:

  לכל מלבן שקודקודיו נמצאים על המסגרת וצלעותיו מקבילים לאלכסונים של הריבוע המקורי, סכום המספרים בקודקודים שווה לגודל קבוע. זה כולל גם את המלבנים "המנוונים" בעלי רוחב אפס שמתלכדים עם האלכסונים של הריבוע - במקרה הזה פשוט סוכמים את שני המספרים בקודקודים המנוגדים של הריבוע

  עבור:

  א. `N=3`

  ב. `N=4`

  ג. `N=5`

  

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 3 נקודות 2+3+4

• מכפלת ספרות

  עבור מספר טבעי `x`, נסמן ב-`P(x)` את מכפלת הספרות של `x`, ונסמן ב-`S(x)` את סכום הספרות של `x`. 

  כמה פתרונות יש למשוואה:

  `P(P(x))+P(S(x))+S(P(x))+S(S(x))=1984`

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 4 נקודות 8

• שאלה

  מצאו את ערך הביטוי ללא מחשבון:

  `(sqrt(sqrt(2)-1))/(sqrt(sqrt(2)+1))+ (sqrt(sqrt(3)-sqrt(2)))/(sqrt(sqrt(3)+sqrt(2)))+ (sqrt(2-sqrt(3)))/(sqrt(2+sqrt(3)))`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> כפל בצמוד

• שאלה

  `120` כדורים זהים מונחים בצורה של פירמידה משולשת. כמה שכבות יש בפירמידה?

  הערה: מדובר בפירמידה, שהיא צורה תלת מימדית, ולא במשולש במישור.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית אלגברה -> סדרות -> השלימו\המשיכו סדרה תורת המספרים -> מספרים משולשיים

• שאלה

  בחדר נמצאים כיסאות עגולים בעלי `3` רגליים וכיסאות מרובעים בעלי `4` רגליים, סך הכל `8` כיסאות. כמה מתוכם כיסאות מרובעים, אם סך כל הרגליים שיש בחדר `27`?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה

  בבית של אלה שלוש כניסות ו-`13` קומות (מ-`0` עד `12`, והדירות נמצאות בכל הקומות חוץ מקומת קרקע). בכל כניסה, בכל קומה חמש דירות. אלה גרה בדירה מספר `73`. באיזו כניסה ובאיזו קומה היא גרה?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות תורת המספרים -> חלוקה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  אבי הזמין אורחים. הם יודעים שהוא גר בדירה `333`, בכניסה מספר `10`, אבל הם לא יודעים באיזו קומה. בבניין יש `9` קומות, וידוע שבכל קומה יש מספר שווה של דירות. ברצונם של האורחים להשתמש במעלית. האם הם יכולים לחשב מראש, איזו קומה במעלית הם צריכים ללחוץ?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  שבעה זאבים אוכלים שבע כבשות תוך שבעה ימים. תוך כמה זמן `9` זאבים יוכלו `9` כבשות?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון