אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

• חידה רוסית עתיקה

  שני כורתי עצים, איבן ופרוחור, עבדו יחד ביער. הם התיישבו לאכול ארוחת צהריים. לאיבן היו `4` פיתות, לפרוחור - `8`. ברגע זה עבר לידם צייד וביקש להצטרף לארוחה, ואז הם חילקו את `12` הפיתות שווה בשווה בין שלושתם. אחרי הארוחה הצייד רצה מאוד להודות לכורתי העצים ונתן להם `15` גרושים. אחרי שהוא עזב, איבן ופרוחור התחילו לדון כיצד צריך לחלק את הכסף.

  פרוחור הציע פשוט לחלק את זה שווה בשווה. אבל איבן טען, שזה לא יהיה הוגן, כי היה לו פי שתיים פחות פיתות, לכן, לדעתו, פרוחור צריך לקבל `10` גרושים ואיבן עצמו - `5`. וכיצד לחלק את הכסף בצורה הוגנת לדעתכם?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> שברים

• שאלה

  שלושה מטיילים צריכים לעבור לצד השני של נהר. ברשותם סירה שיכולה להחזיק עומס עד `100` קילוגרם. המשקלים של המטיילים הינם `45`, `50` ו-`80` קילוגרמים. כיצד המטיילים צריכים לפעול, כדי לעבור לצד השני?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון

• שאלה

  בארץ הקסומה יש רק שני סוגים של מטבעות: `16` ל"ק (לירות קסומות) ו-`27` ל"ק. האם ניתן לקנות מחברת שעולה לירה קסומה אחת ולקבל עודף מדויק?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית -> אלגוריתם אוקלידס תורת המספרים -> חלוקה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה

  המספרים `1`, `2`, `3`, ..., `9` מחלוקים ל-`3` קבוצות. הוכיחו כי ישנה קבוצה בה מכפלת המספרים גדולה או שווה ל-`72`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  בתרגיל חשבון הבא ספרות שונות הוחלפו על ידי אותיות שונות, וספרות זהות – על די אותיות זהות. שחזרו את התרגיל:

  `BAOxxBAxxB=2002`

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל

• שאלה

  חברה "הבונה החרוץ" עוסקת באגירת מלאי עצים ביער קסום בקנדה. עמותה להגנת הטבע בשם "הנוקם הירוק" רוצה להגן על היער ומתנגדת לפעילותה של החברה. בעקבות כך מנכ"ל החברה אמר את המשפט הבא:

  "`99%` של העצים ביער הם עצי מייפל. בשנה הקרובה אנו הולכים לכרות עצי מייפל בלבד, וכתוצאה מכך אחוז עצי מייפל ביער בעוד שנה יהפוך להיות `98%`. "

  איזה אחוז מעצי היער מתכוונים לכרות הבונים החרוצים?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> אחוזים לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• מאיפה הופיע הטאלר המיותר?

  סנדלר בשם קרל תפר מגפיים ושלח את בנו הצעיר הַנְס לשוק כדי שהוא ימכור אותם בעבור `25` טאלר. בהגעתו של הנס לשוק, ניגשו אליו שני נכים, אחד בלי רגל שמאל, השני בלי רגל ימין, וביקשו למכור לכל אחד מהם מגף אחד. הנס הסכים ומכר לכל אחד מהם מגף ב-`12.5` טאלר.

  כשהנס חזר הביתה וסיפר לאבא מה קרה, קרל החליט שלאנשים האלה היה צריך למכור מגפיים במכיר נמוך יותר - `10` טאלר למגף. אז הוא נתן להנס `5` טאלר וביקש שיחזיר לכל אחד מהם `2.5` טאלר.

  בהגעתו לשוק הנס ראה דוחן ממתקים, לא התאפק ובזבז שם `3` טאלר ממה שהאבא נתן לו. אחרי זה הוא מצא את שני הנכים ונתן לכל אחד מהם טאלר אחד, כי זה כל מה שנשאר לו. כשהנס חזר הביתה, הוא התחרט על מה שהוא עשה וסיפר הכל לאבא. הסנדלר קרל התרגז מאוד ונעל את בנו במזוה בתור עונש.

  כך, יושב הנס במזוה ומנתח את מה שקרה באותו יום: "החזרתי לכל אחד מהנכים טאלר אחד, זה אומר שכל אחד מהם בסופו של דבר שילם על המגף שלו `12.5-1=11.5` טאלר. אז סך הכל הם שילמו `11.5*2=23` טאלר. ועוד שלושה טאלר בזבזתי על ממתקים. יוצא סך הכל  `26` טאלר, אבל היה `25`! מאיפה הופיע עוד טאלר אחד?"

   

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• חלוקת הגמלים (שאלה עתיקה)

  לסוחר ערבי זקן היו שלושה בנים. הוא הוריש להם 17 גמלים, ובצוואתו ביקש כי הבן הבכור יקבל חצי מכמות הגמלים, הבן הבינוני יקבל שליש והצעיר תשיעית. הבנים לא הצליחו לחלק את הגמלים ביניהם כמו שנאמר בצוואה בלי לשחוט חלק מהגמלים - והם לא רצו לעשות את זה. אזי הם פנו לקאדי לעזרה.

  הקאדי הוסיף ל-17 הגמלים גמל אחד משלו ואת 18 הגמלים הוא חילק כך: הבן הבכור קיבל 9 גמלים שהם חצי מהכמות, הבן בינוני קיבל 6 גמלים שהם שליש מהכמות והבן הצעיר קיבל 2 גמלים שהם תשיעית מהכמות, בסך הכול חולקו 17 גמלים ואת הגמל המיותר החזירו לקאדי.

  האחים התפעלו מחכמתו של הקאדי והתחילו לחשוב: איך זה קרה שכל אחד קיבל אפילו יותר ממה שהוא היה חייב לקבל לפי הצוואה?

   

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• שאלה

  נתונה הסדרה `1 , 1/2 ,1/3 ,1/4 ,1/5,...`, האם קיימת סדרה חשבונית שמורכבת מאיברי הסדרה הנ"ל

  1. באורך 5

  2. בכל אורך

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ב, אביב

• שאלה

  מספרים חיוביים a,b,c,d מקיימים `a^3 + b^3 +c ^3 + d^3 >= 3` וגם `a^5 + b^5 +c ^5 + d^5 <= 5`

  הוכיחו כי`a + b +c + d >= 3 / 2`

   

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 1