אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

טכניקה אלגברית משוואות אי שוויונים בעיות מילוליות סדרות

• שאלה

  האם המספר הבא הוא ראשוני: 

  `4^9 + 6^10 + 3^20`

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר

• שאלה

  המספרים הממשיים השונים `x` ו-`y` מקיימים את המשוואה:

  `x^2 – 2000x = y^2 – 2000y`

  מצאו את הסכום של `x` ו-`y`.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> משוואות

• שאלה

  פתרו את המשוואה:

  `(x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = (x + 2011)(x + 2012)(x + 2013) `

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  נתון חרוט (בעל ציר סימטריה במרכזו, המאונך לבסיסו) שגובהו 6 ובסיסו הוא עיגול בעל רדיוס `sqrt2` . בתוך החרוט חסומה קובייה – היא מונחת על בסיס החרוט וכל קדקודיה העליונים נוגעים בחרוט. מצאו את אורך הצלע של הקובייה. נמקו את תשובתכם.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב אלגברה -> משוואות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> דמיון משולשים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ו שאלה 2

• שאלה

  נתון לוח בגודל `M times N`, ובכל משבצות הלוח כתובים מספרים ממשיים. ידוע כי הסכומים בכל שורה ובכל עמודה של הלוח שווים ל-`1`.

  הוכיחו כי `M = N`.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה לוגיקה -> הגיון אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים

• שאלה

  בהינתן מספר שלם חיובי N, נתבונן בתהליך הבא: נסמן ב-`S(N)` את סכום הספרות של N ניקח את סכום הספרות של `S(N)`  נחזור על הפעולה שוב ושוב עד שנקבל מספר חד ספרתי נקרא למספר הפעמים שביצענו את התהליך הנ"ל עד שקיבלנו מספר חד-ספרתי: "העומק" של N. לדוגמה, העומק של 49 הוא `S(49)=13 -> S(13)=4)2` , הפעולה בוצעה פעמיים( והעומק של 45 הוא 1.

  א) הוכיחו כי לכל מספר N אכן יש עומק סופי, כלומר, שתמיד יתקבל מספר חד-ספרתי בשלב כלשהו של התהליך.

  ב) נסמן ב-`x(n)` את המספר המינימלי (שערכו הקטן ביותר) בעל עומק N. מצאו את השארית של `x(5776)` בחילוק ב-6 .נמקו את תשובתכם!

  ג) מצאו את השארית של המספר `x(5776) - x(5708)` בחילוק ב-2016 .נמקו את תשובתכם!

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות קומבינטוריקה -> אינדוקציה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ו שאלה 3

• שאלה

  הוכח כי כל מספר ממשי אפשר לרשום כסכום 9 מספרים שכל אחד מהם מורכב רק מספרות 0 ו7. 
  א. טורקוויץ' 

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה הוכחה ודוגמה אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב שאלה 3

• מטבעות ועוגות

  למרים יש מטבעות של שני שקלים ושל 5 שקלים.

  אם היא תשלם רק במטבעות של 2 שקלים, יהיו חסרים לה 60 שקל לקניית 4 עוגות.

  אם היא תשלם רק במטבעות של 5 שקלים, יהיו חסרים לה 60 שקל לקניית 5 עוגות.

  בסה"כ חסרים לה 60 שקל לקניית 6 עוגות. כמה עולה עוגה?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז שאלה 2

• שאלה

  כמה פתרונות במספרים טבעיים יש למשוואה `(2013 - x)(2013-y)=2013^2` ?

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז שאלה 6

• שאלה

  בקופסה נמצאים עפרונות בשלושה צבעים: אדום, ירוק, וכחול, סך הכל `20` עפרונות. עפרונות כחולים יש פי `6` יותר מאשר עפרונות ירוקים. עפרונות אדומים יש פחות מעפרונות ירוקים. כמה עפרונות אדומים יש בקופסה?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים