אלגברה
אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.
טכניקה אלגברית משוואות אי שוויונים בעיות מילוליות סדרות-
משוואות ריבועיות
פתרו את המשוואות:
א:`({x^2+6}/{x^2-4})^2=({5x}/{4-x^2})^2`
ב: `7(x+1/x)-2(x^2+1/x^2)=9`
ג: `sqrt{x+2sqrt{x-1}}-sqrt{x-2sqrt{x-1}}=2`
מקורות: -
שורשים מחולקים
מצאו את הסכום `1/{sqrt1+sqrt2}+1/{sqrt2+sqrt3}+...+1/{sqrt99+sqrt100}`.
מקורות: -
יחסי התשובות של משוואות ריבועיות
נתונה משוואה ריבועית `ax^2+bx+c=0` ופתרונותיה הם `x_{1,2}={-b+-sqrt{b^2-4ac}}/{2a}`.
א: הראו שמתקיימות משוואות וייאטה:`x_1x_2=c/a` `x_1+x_2=-b/a,`.
ב: הביעו את הביטויים הבאים במונחי a,b,c: `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}` `1/x_1+1/x_2, ` `x_1^3+x_2^3,` `x_1^2+x_2^2`.
מקורות: -
פירוק ושימוש בנוסחה
נוסחה מענינת היא `x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)`.
א: היעזרו בה ופרקו לגורמים את הביטוי `a^n-b^n`.
ב: פרקו לגורמים את הביטוי `a^n+b^n` ל n אי זוגי כלשהו.
ג: הוכיחו שאם `2^n-1` ראשוני אז גם n ראשוני.
ד: הוכיחו שאם `2^n+1` ראשוני אז n בהכרח חזקה של 2 שזה שקול ל `n=2^m`
מקורות:נושאים:אלגברה -> טכניקה אלגברית תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה -
חילוק סופי
מצאו את כל ה x,y,z,w השלמים שמקיימים `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `.
נושאים:תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות -
חילוק סופי
מצאו את כל ה x,y,z,w השלמים שמקיימים `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `.
מקורות:נושאים:תורת המספרים -> חשבון השאריות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות -
הגדלת מלבן
נתון מלבן במישור. האם יכול להיות שאחרי שכל צלע של המלבן הוגדלה ב 1 ס"מ השטח גדל ב 1 מ"ר? הביאו דוגמא או הוכיחו שזה בלתי אפשרי.
(אם המלבן הוא 1x5 אז הוא הופך ל 2x6 ואף צלע לא יכולה להיות 0)
מקורות:- תחרות גרוסמן, 2017, צעירים שאלה 1
-
ביטוי שלם
מצאו את כל ה n השלמים עבורם הביטוי `{(n+2)^4}/{n-1}` מוגדר ושלם.
מקורות: -
מקדמים שלמים?
נתונים מספרים ממשיים a,b,c כך שעבור כל מספר שלם x המספר `ax^2+bx+c` שלם. האם זה בהכרח אומר ש a,b,c כולם שלמים? הוכיחו שכן או הביאו דוגמא נגדית.
מקורות:- תחרות גרוסמן, 2017, צעירים שאלה 2
-
העימות
אהוד ובנימין משתתפים בעימות פומבי. כל אחד מציג, בתורו, שאלה ליריבו. אהוד נבחר להיות הראשון שמציג שאלה. "שאלה מכשילה" היא שאלה שעליה אין ליריב תשובה. מתמודד שמצליח לשאול שאלה מכשילה מנצח מיד בעימות. ההסתברות של כל אחד משני המתמודדים למצוא (בתורו) שאלה מכשילה היא בדיוק 1/2. כמו כן, ידוע שאין כל תלות בין השאלות. מה ההסתברות של אהוד לנצח בעימות?