אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

טכניקה אלגברית משוואות אי שוויונים בעיות מילוליות סדרות

• שאלה

  נתונות מספר קופסאות כבדות שאפשר להסיע אותן באמצעות 7 משאיות עם קיבולת של 6 טון כל אחת, אבל אי-אפשר להסיען באמצעות 6 משאיות מסוג זה.
  א. האם ייתכן שאפשר להסיע אותן ב-3 משאיות שקיבולת של כל אחת היא 7 טון?
  ב. האם ייתכן שאפשר להסיע אותן ב-3 משאיות שקיבולת של כל אחת היא 10 טון?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 5

• שאלה

  מצאו את המספר `c` הקטן ביותר, כך שלמשוואה `3x + 4y = c` יהיו בדיוק 3 פתרונות במספרים שלמים חיוביים.

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ז שאלה 5
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ח שאלה 2

• שאלה

  מה יותר גדול ופי כמה:
  `(1 + 2/3) (2 + 3/4) ... (998 + 999/1000)` או `(3 + 2/1) (4 + 3/2) ... (1000 + 999/998)`

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> סדרות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ז שאלה 6
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ח שאלה 4

• שאלה

  החליפו אותיות בספרות שונות מאפס, כך שתתקבל זהות נכונה. אותיות זהות מסמנות ספרות זהות, אותיות שונות – ספרות שונות; גל, גר הם מספרים דו-ספרתיים שמורכבים מספרות אלו.
  `ל / ג + ל/ר + ל/ב + ל/(רג) + ל/ (ל ג) = ל`

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות אריתמטיקה -> שברים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ח שאלה 7
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2019, כיתה ט שאלה 6

• שאלה

  בשעה 12:00 מחוגי השעון מתלכדים. כמה זמן יעבור עד שהמחוגים יהיו מאונכים זה לזה בפעם הראשונה? (המחוגים נעים ברציפות, במהירויות קבועות)

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות -> בעיות תנועה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 2

• שאלה

  נניח ש- `x,y,z` מספרים חיוביים שסכומם 1. מהו הערך הקטן ביותר שיכול לקבל המספר הגדול מבין `x/5, y/7, z/11`?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 3

• שאלה

  בקרקעיתו של אגם יש מעיינות המזרימים אליו מים בקצב קבוע. עדר של 183 פילים יכול לרוקן את האגם ביום אחד. עדר של 37 פילים יכול לרוקן אותו בחמישה ימים. כמה זמן ייקח לפיל בודד לרוקן את האגם?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 5

• שאלה

  המורה חילקה (עם שארית) את מספר התלמידים בשכבה ב-2, ב-3, ב-4, ב-5 וב-9. כשסיכמה את השאריות, קיבלה 18. מצא את מספר התלמידים בשכבה, אם ידוע שהמספר קטן מ-300.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 6

• שאלה

  מצא את כל הזוגות x ,y של מספרים שלמים, המקיימים את המשוואה `x + y = x^2 + xy + y^2`

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 8

• שאלה

  נתון טרפז שווה שוקיים, שאורך השוק שלו a, ואורך האלכסון שלו b, כמו בציור. מצא את הערך הגדול ביותר והקטן ביותר שיכולה לקבל מכפלת הבסיסים (התשובה תלויה ב-`a` וב-`b`).
  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 9