אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

• העימות

  אהוד ובנימין משתתפים בעימות פומבי. כל אחד מציג, בתורו, שאלה ליריבו. אהוד נבחר להיות הראשון שמציג שאלה. "שאלה מכשילה" היא שאלה שעליה אין ליריב תשובה. מתמודד שמצליח לשאול שאלה מכשילה מנצח מיד בעימות. ההסתברות של כל אחד משני המתמודדים למצוא (בתורו) שאלה מכשילה היא בדיוק 1/2. כמו כן, ידוע שאין כל תלות בין השאלות. מה ההסתברות של אהוד לנצח בעימות?

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות תורת ההסתברות

• העימות

  אהוד ובנימין משתתפים בעימות פומבי. כל אחד מציג, בתורו, שאלה ליריבו. אהוד נבחר להיות הראשון שמציג שאלה. "שאלה מכשילה" היא שאלה שעליה אין ליריב תשובה. מתמודד שמצליח לשאול שאלה מכשילה מנצח מיד בעימות. ההסתברות של כל אחד משני המתמודדים למצוא (בתורו) שאלה מכשילה היא בדיוק 1/2. כמו כן, ידוע שאין כל תלות בין השאלות. מה ההסתברות של אהוד לנצח בעימות?

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות תורת ההסתברות
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 1

• נחלק ב-13

  על דף נייר רושמים את כל המספרים הטבעיים בין 1 ל 2006, ומבצעים סדרת פעולות כמתואר להלן. בכל שלב מוחקים מספר כלשהו של מספרים מהרשימה ומסמנים את סכומם ב S. במקום המספרים שנמחקו מוסיפים מספר יחיד שהוא השארית המתקבלת מהחלוקה של S ב 13. לאחר מספר כלשהו של צעדים כאלו נותרו על הנייר שני מספרים בלבד. אחד מהם הוא 100. מצא את המספר השני.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 2

• הספְרָה ה-1224

  כותבים את המספרים הטבעיים על פי סדר, זה אחר זה משמאל לימין:

  1234567891011...

  נשים לב למשל, שהספרה במקום ה-10 היא 1 ושהספרה במקום ה-11 היא 0.

  ממשיכים עם הכתיבה הזו, כמה שצריך...

  איזו ספרה תהיה במקום ה-1224 ברצף?

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 1

• שיא המשחק הארוך

  המשחק מתחיל עם שורה ובה 42 מטבעות, בכולם 'פלי' כלפי מעלה.

  כל שחקן בתורו בוחר את אחד המטבעות בהם 'פלי' כלפי מעלה - הופך את המטבע שבחר, וגם את המטבע שצמוד לו מימין (אם קיים).

  הצלחת להביא בתור שלך לכך שכל המטבעות מצביעים 'עץ'? ניצחת את המשחק!

  לכל היותר, אחרי כמה תורות המשחק יסתיים?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 2

• אורכי צלעות משולש

  יהי `n > 2` מספר שלם, ויהיו ` t_1,t_2,...,t_n` מספרים ממשיים חיוביים כך ש

  `(t_1+t_2+...+t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n) < n^2+1`

  הוכח כי לכל i,j,k כך ש- `1<=i<j<k<=n`, שלשת המספרים `t_i,t_j,t_k` הם אורכי הצלעות של משולש.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 5

• פולינום עם מקדמים שלמים

  יהי (p(x פולינום עם מקדמים שלמים המקיים `p(-2006) < p(2006)=2005`. הוכח ש- `p(-2006)<=-2007`.
   

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> אי שוויונים
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 6

• איך שגלגל מסתובב לו

  כל 6 הגלגלים שבשרטוט מסתובבים כשהם נוגעים זה בזה ללא החלקה. קוטרו של הגלגל השמאלי 15.7 ס"מ והוא מבצע 12 סיבובים בדקה.

  ידוע שהגלגל הקטן מבצע סיבוב אחד בשנייה.

  מהו קוטרו של הגלגל הקטן?

  

  נושאים:

  אריתמטיקה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 7

• שאלה

  תלמידי כיתה ח' זרקו כדורי גומי לקופסה ואחר כך ניסו לנחש כמה כדורים הצטברו שם. חמישה תלמידים ניסו לנחש: 45, 41, 55, 50, 43, אך אף אחד לא ניחש בדיוק את הכמות. הניחושים נבדלו מהאמת ב- 3, 7, 5, 7 ו-2 כדורים (לא בהכרח באותו הסדר כמו הניחושים). כמה כדורים היו בקופסה?

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 1

• שאלה

  על הלוח כתובים כל המספרים מ-1 עד `10^9` (כולל `10^9`). המספרים שמתחלקים ב-3 כתובים באדום, ושאר המספרים בכחול. סכום של כל המספרים האדומים שווה ל- `X`, וסכום של כל המספרים הכחולים שווה ל- `Y`. איזה מספר גדול יותר, `2X` או `Y`, ובכמה?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 2