אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

• ממוצע הממוצעים 3

  נתבונן בתרשים הבא:

  

  כל מספר בתרשים, שמחובר ל-4 מספרים אחרים, חייב להיות שווה לממוצע שלהם:
  מהו המספר בעיגול שמסומן בסימן שאלה?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 1

• מספרים בריבוע

  איילה לקחה את כל המספרים שמתחלקים ב-3 מ-1 עד 99 כולל והעלתה את כל אחד מהם בריבוע, סכמה את התוצאות, ואת המספר שהתקבל הכפילה פי 2.
  ברווז לקח את כל המספרים שלא מתחלקים ב-3 מ-1 עד 100 כולל,העלה את כל אחד מהם בריבוע וסכם את התוצאות.
  מה ההפרש בין המספר שברווז קיבל למספר שאיילה קיבלה?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 4

• כמה פתרונות למשוואה?

  נתונה המשוואה:
  `x^2+2xy+y^2-200x-200y+1900=0`
  כמה פתרונות (x,y) יש למשוואה, כאשר x ו-y
  הם מספרים שלמים מ-1 עד 100 (כולל)?

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 5

• כנס מתמטי

  לכנס מתמטי הגיעו 202 משתתפים משלוש מדינות: ישראל, יוון ויפן.
  ביום הראשון, כל זוג משתתפים מאותה מדינה לחצו ידיים. ביום השני, כל זוג משתתפים
  שאחד מהם ישראלי והשני אינו ישראלי לחצו ידיים. ביום השלישי, כל זוג משתתפים שאחד
  מהם ישראלי והשני יווני לחצו ידיים. סך הכול, התרחשו 20200 לחיצות ידיים. כמה
  משתתפים ישראלים היו בכנס?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 2

• מספרים על לוח

  בתחילת היום, על הלוח רשומים ארבעה מספרים שלמים (`a_0,b_0,c_0,d_0`). בכל דקה, דני
  מחליף את ארבעת המספרים שעל הלוח ברביעיית מספרים חדשה לפי הכלל הבא: אם
  המספרים הרשומים על הלוח הם (a,b,c,d), ראשית דני מייצר את המספרים
  `a'=a+4b+16c+64d`
  `b'=b+4c+16d+64a`
  `c'=c+4d+16a+64b`
  `d'=d+4a+16b+64c`
  ולאחר מכן הוא מוחק את המספרים (a,b,c,d) ורושם במקומם את המספרים
  ('a'd',d'c',c'b',b'a). לאילו רביעיות התחלתיות (`a_0,b_0,c_0,d_0`) ירשום דני
  בסופו של דבר רביעיית מספרים שכולם
  מתחלקים ב`5780^5780`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 4

• מקיפים בעיגולים

  נתונים שני משולשים ACE, BDF
  שנחתכים ב-6 נקודות: G,H,I,J,K,L
  כמתואר בציור. נתון כי בכל אחד מהמרובעים
  EFGI ,DELH ,CDKG ,BCJL ,ABIK ניתן לחסום מעגל.
  האם ייתכן שגם במרובע FAHJ ניתן לחסום מעגל?
  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 5

• מעגל המספרים

  במעגל רשומים המספרים 1 עד 6 לפי הסדר, כמתואר בציור.
  בכל מהלך, ליאור בוחר מספר כלשהו a במעגל ששכניו b,c ורושם
  במקומו את המספר `(bc)/a`.
  האם ליאור יכול להגיע למצב שבו מכפלת המספרים במעגל גדולה מ- `10^100`
  (א) ב- 100 מהלכים.
  (ב) ב- 110 מהלכים

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 6

• מעגל חסום במשולש

  בתוך משולש נמצאת נקודה P, שמרחקיה מהישרים עליהם נמצאות צלעות המשולש הם `d_a,d_b,d_c` נסמן ב R 
  את רדיוס המעגל החוסם את המשולש וב r את רדיוס המעגל החסום במשולש. הראו כי `sqrt(d_a)+sqrt(d_b)+sqrt(d_3)<= sqrt (2R+5r) `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> אי שוויונים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 7

• חוגי הילדים

  בגן ילדים מתקיימים שלושה חוגים: ג'ודו, חקלאות ומתמטיקה. כל ילד משתתף בחוג אחד בדיוק ובכל חוג יש לפחות משתתף אחד. מספר הילדים בגן הוא 32. ביום שישי הגננת אספה 6 ילדים שיסדרו את הכיתה. הגננת ספרה וגילתה כי בדיוק חצי מתלמידי החוג לג'ודו, רבע מתלמידי החוג לחקלאות ושמינית מתלמידי החוג למתמטיקה נרתמו למשימה. כמה תלמידים יש בכל חוג?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> שברים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 1

• שוקי מטיל

  שוקי הלך 3.5 שעות. בכל פרק זמן של שעה הוא עבר 5 ק"מ. האם מכך נובע שמהירותו הממוצעת של שוקי במשך הזמן שהוא הלך היא 5 ק"מ לשעה?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ג, אביב, כיתות ט-י שאלה 1