אלגברה, בעיות מילוליות

בעיות מילוליות מציגות אתגרים מתמטיים בהקשר סיפורי או של עולם אמיתי. פתרונן דורש תרגום הטקסט למשוואות או ביטויים מתמטיים ולאחר מכן יישום טכניקות מתמטיות מתאימות. אלו יכולות להקיף אריתמטיקה, אלגברה, גאומטריה וכו'.

בעיות תנועה פתרון בעיות מילוליות "מהסוף"

  • אריזת זהב ברוסיה

    עורך העיתון Times הוזמן על ידי פקיד רוסי בכיר לבדוק את הזהב המאוחסן במאגר בסנט פטרסבורג, כדי שיוכל לוודא שזה לא עוד "כספת הומברט". הוא השיב שזה לא יועיל כלל, כי למרות שהזהב עשוי להיראות שם, הוא לא יוכל מתוך בדיקה בלבד להצהיר שמה שהוא רואה הוא באמת זהב. כתב של ה-Daily Mail הרים את הכפפה, אך למרות שהתרשם מאוד ממה שראה, הוא נאלץ להודות בחוסר יכולתו (מבלי לרוקן ולספור את תכולת כל קופסה ושק, ולבדוק כל חתיכת זהב) לתת כל הבטחה בנושא. בהצגת החידה הקטנה הבאה, אני רוצה שיהיה מובן גם שאני לא מבטיח את קיומו האמיתי של הזהב, והנקודה כלל לא מהותית למטרתנו. יתר על כן, אם הקורא יאמר שבדרך כלל לא "אורזים" זהב בלוחות במידות שאני נותן, אני יכול רק לטעון לרישיון בעייתי.

    פקידים רוסים עסקו באריזת `800` לוחות זהב, שכל אחד מהם באורך `12`½ אינץ', ברוחב `11` אינץ' ובעומק `1` אינץ'. מהם הממדים הפנימיים של קופסה באורך וברוחב שווים, ועומק נדרש, שתכיל אותם בדיוק מבלי להשאיר מקום פנוי? לא יותר משנים עשר לוחות ניתן להניח על קצה, על פי כללי הממשלה. זוהי בעיה קטנה ומעניינת באריזה, וכלל לא קשה.

    מקורות:

  • חביות הדבש

     

    לפני זמן רב היה סוחר קשיש מבגדד שהיה מכובד מאוד על ידי כל מי שהכיר אותו. היו לו שלושה בנים, והיה לו כלל בחיים להתייחס לכולם בדיוק אותו הדבר. בכל פעם שאחד קיבל מתנה, שני האחרים קיבלו כל אחד מתנה בשווי שווה. יום אחד האיש הראוי הזה חלה ומת, והוריש את כל רכושו לשלושת בניו בחלקים שווים.

    הקושי היחיד שהתעורר היה בנוגע למלאי הדבש. היו בדיוק עשרים ואחת חביות. הזקן השאיר הוראות שלא רק שכל בן יקבל כמות שווה של דבש, אלא יקבל בדיוק את אותו מספר חביות, ושאף דבש לא יועבר מחבית לחבית בגלל הבזבוז הכרוך בכך. כעת, מכיוון ששבע מהחביות הללו היו מלאות בדבש, שבע היו חצי מלאות ושבע היו ריקות, התברר שזה די פאזל, במיוחד כאשר כל אח התנגד לקחת יותר מארבע חביות מאותו תיאור—מלאות, חצי מלאות או ריקות. האם אתה יכול להראות כיצד הם הצליחו לבצע חלוקה נכונה של הרכוש?

    מקורות:

  • חציית הנחל

    במהלך טיול כפרי מצאו עצמם מר וגברת סופטלי בדילמה נחמדה. הם היו צריכים לחצות נחל בסירה קטנה שיכולה לשאת רק `150` ליברות משקל. אבל מר סופטלי ואשתו שקלו בדיוק `150` ליברות כל אחד, וכל אחד מבניהם שקל `75` ליברות. ואז היה הכלב, שלא ניתן היה לשכנע אותו בשום אופן לשחות. על פי העיקרון של "נשים קודם", הם מיד שלחו את גברת סופטלי, אבל זו הייתה טעות מטופשת, כי היא הייתה צריכה לחזור שוב עם הסירה, כך שלא הושג דבר בפעולה הזו. איך הם הצליחו כולם להגיע לצד השני? הקורא יגלה שזה הרבה יותר קל ממשפחת סופטלי, כי האויב הכי גדול שלהם לא יכול היה לקרוא להם בצדק רביעייה מבריקה - בעוד שהכלב היה טיפש מושלם. מקורות:

  • חציית נהר אקס

    לפני שנים רבות, בימי המבריח הידוע כ"רוב רוי של המערב", כנופיית פיראטים קברה על חוף דרום דבון כמות של אוצר אשר, כמובן, ננטש על ידם בצורה בלתי מוסברת כרגיל. כעבור זמן מה, מקום הימצאו התגלה על ידי שלושה כפריים, אשר ביקרו במקום לילה אחד וחלקו את השלל ביניהם, ג'יילס לקח אוצר בשווי £`800`, ג'ספר בשווי £`500`, וטימותי בשווי £`300`. בחזרתם הם נאלצו לחצות את נהר אקס בנקודה שבה הם השאירו סירה קטנה בהיכון. כאן, עם זאת, הייתה קושי שלא ציפו לו. הסירה יכלה לשאת רק שני אנשים, או אדם אחד ושק, והיה להם כל כך מעט אמון זה בזה שאף אדם לא יכול היה להישאר לבד על היבשה או בסירה עם יותר מחלקו בשלל, אם כי שני אנשים (בהיותם בלמים זה על זה) עשויים להישאר עם יותר מחלקם. החידה היא להראות כיצד הם עברו את הנהר במספר המינימלי האפשרי של חציות, תוך שהם לוקחים איתם את האוצר שלהם. אין להשתמש בתחבולות, כגון חבלים, "גשרים מעופפים", זרמים, שחייה או תחבולות דומות. מקורות:

  • גְּנֵבַת אוֹצַר הַטִּירָה

    הַדֶּרֶךְ הַמְּתוּחְכֶּמֶת בָּהּ נִגְנְבָה תֵּבַת אוֹצָר, הַמְּכִילָה בְּעִיקָרָהּ תַּכְשִׁיטִים וַאֲבָנִים יְקָרוֹת, מִטִּירַת גְּלוּמְהֶרְסְט, עָבְרָה כְּמָסֹרֶת בְּמִשְׁפַּחַת דֶּה גּוּרְנֵי. הַגַּנָּבִים הִתְכַּלְּלוּ מֵאִישׁ, נַעַר וְיֶלֶד קָטָן, שֶׁדֶּרֶךְ הַמִּלּוּט הַיְּחִידָה שֶׁלָּהֶם עִם תֵּבַת הָאוֹצָר הָיְתָה דֶּרֶךְ חַלּוֹן גָּבוֹהַּ. מִחוּץ לַחַלּוֹן הוּצַּב גַּלְגֶּלֶת, שֶׁעָלֶיהָ עָבַר חֶבֶל עִם סַל בְּכָל קָצֶה. כְּשֶׁסַּל אֶחָד הָיָה עַל הַקַּרְקַע, הַשֵּׁנִי הָיָה בַּחַלּוֹן. הַחֶבֶל סֻדַּר כָּךְ שֶׁהָאֲנָשִׁים בַּסַּל לֹא יָכְלוּ לַעֲזֹר לְעַצְמָם בְּאֶמְצָעוּתוֹ וְלֹא לְקַבֵּל עֶזְרָה מֵאֲחֵרִים. בְּקִצּוּר, הַדֶּרֶךְ הַיְּחִידָה לְשִׁמּוּשׁ בַּסַּלִּים הָיְתָה עַל יְדֵי הַצָּבַת מִשְׁקָל כָּבֵד יוֹתֵר בְּאֶחָד מֵהַשֵּׁנִי.

    עַכְשָׁו, מִשְׁקַל הָאִישׁ הָיָה `195` לִיבְּרוֹת, הַנַּעַר `105` לִיבְּרוֹת, הַיֶּלֶד `90` לִיבְּרוֹת וְתֵּבַת הָאוֹצָר `75` לִיבְּרוֹת. הַמִּשְׁקָל בַּסַּל הַיּוֹרֵד לֹא יָכֹל לַחְרֹג מִזֶּה שֶׁבַּשֵּׁנִי בְּיוֹתֵר מִ `15` לִיבְּרוֹת בְּלִי לִגְרֹם לִירִידָה כֹּה מְהִירָה שֶׁתִּהְיֶה מְסֻכֶּנֶת בְּיוֹתֵר לְבֶן אָדָם, אַף עַל פִּי שֶׁלֹּא תִּגְרֹם נֶזֶק לָרְכוּשׁ הַגָּנוּב. רַק שְׁנֵי אֲנָשִׁים, אוֹ אָדָם אֶחָד וְהָאוֹצָר, יָכְלוּ לְהָנִיחַ בְּאוֹתוֹ סַל בְּבַת אַחַת. אֵיךְ הֵם הִצְלִיחוּ לִבְרֹחַ וְלָקַחַת אִתָּם אֶת תֵּבַת הָאוֹצָר?

    הַחִידָה הִיא לִמְצֹא אֶת הַדֶּרֶךְ הַקְּצָרָה בְּיוֹתֵר לְבִצּוּעַ הַמַּעֲשֶׂה, שֶׁכְּשֶׁעַצְמוֹ אֵינוֹ קָשֶׁה. זִכְרוּ, אָדָם לֹא יָכוֹל לַעֲזֹר לְעַצְמוֹ עַל יְדֵי תְּלִיָּה עַל הַחֶבֶל, הַדֶּרֶךְ הַיְּחִידָה הִיא לָרֶדֶת "עִם מַהֲלוּמָה," כְּשֶׁהַמִּשְׁקָל בַּסַּל הַשֵּׁנִי כְּמִשְׁקָל נֶגְדִּי.

    מקורות:

  • משחק קריקט בכפר

    במשחק קריקט, Dingley Dell v. All Muggleton, האחרון קיבל את הסיבוב הראשון. מר דמפקינס ומר פודר היו בשערים, כאשר דמפקינס הזהיר ביצע חיתוך מאוחר מרהיב, ומר פודר קרא לו לרוץ. ארבע ריצות הושלמו לכאורה, אך השופטים הערניים בכל קצה קראו, "שלוש חסרות," מה שהפך לשש ריצות חסרות בסך הכל. איזה מספר השיג מר דמפקינס? כאשר Dingley Dell קיבלו את תורם בשערים, האלופים שלהם היו מר לאפי ומר סטראגלס. האחרון ביצע נסיעה מרהיבה מהצד, והזמין את עמיתו "לבוא," וכתוצאה מכך הצופים הבחינו ומחאו כפיים על מה שהיה אמור להיות שלוש ריצות חדות. אבל השופטים הצהירו שהיו שתי ריצות חסרות בכל קצה - ארבע בסך הכל. באיזו מידה, אם בכלל, התמרון הזה הגדיל את סך הנקודות של מר סטראגלס? מקורות:

  • צרצר איטי

    במשחק המחוז האחרון בין ווסקס לנינקומשייר, הקבוצה הראשונה הייתה על המגרש כל היום, השחקן האחרון הוצא כמה דקות לפני הזמן לסיום המשחק. המשחק היה כל כך איטי שרוב הצופים נרדמו עמוק, וכשהתעוררו על ידי אחד הפקידים שפינה את השטח, למדנו ששני שחקנים הוצאו בפסיקה לג-בפור-וויקט עם ציון משולב של `19` ריצות; ארבעה שחקנים נתפסו עם ציון משולב של `17` ריצות; שחקן אחד הודח בריצה עם ניקוד אפס; והשאר הודחו באמצעות באולינג עבור `3` ריצות כל אחד. לא היו תוספות. לא נאמר לנו מי מהשחקנים היה הקפטן, אבל הוא השיג בדיוק `15` יותר מהממוצע של הקבוצה שלו. מה היה הניקוד של הקפטן? מקורות:

  • חידת מרוץ הסוסים

    אין מוסר בחידות. כאשר אנו פותרים את החידה הישנה על הקברניט שנאלץ להשליך חצי מצוותו מעבר לסיפון בסערה, והסכים לערוך הגרלה, אך סידר את האנשים כך שרק הטורקים הוקרבו, וכל הנוצרים נותרו על הסיפון, איננו עוצרים לדון במוסריות המפוקפקת של ההליך. וכאשר אנו עוסקים בבעיית מדידה, שבה צליינים צמאים מסוימים אמורים לערוך חלוקה הוגנת של חבית בירה, איננו מתנגדים לכך, כמנועים מוחלטים, שזה מנוגד למצפוננו להתעסק עם משקאות משכרים. לכן איני מתנצל על הצגת חידה העוסקת בהימורים.

    שלושה סוסים—בלוט, כחול-בקבוק וקפסולה—מתחילים במרוץ. יחסי ההימורים הם `4` ל-`1`, בלוט; `3` ל-`1`, כחול-בקבוק; `2` ל-`1`, קפסולה. עכשיו, כמה עלי להשקיע על כל סוס כדי לזכות ב-£`13`, לא משנה איזה סוס יגיע ראשון? נניח, לדוגמה, שהימרתי £`5` על כל סוס. אז, אם בלוט ינצח, אקבל £`20` (ארבע פעמים £`5`), ואצטרך לשלם £`5` עבור כל אחד משני הסוסים האחרים; ובכך אזכה ב-£`10`. אבל יתברר שאם כחול-בקבוק יהיה ראשון אזכה רק ב-£`5`, ואם קפסולה תנצח לא ארוויח דבר ולא אפסיד דבר. זה יבהיר את השאלה לחלוטין למתחילים, שכמוני, לא מתעניינים בקריאה של האחווה שמצהירה שהיא עוסקת במשימה הנאצלת של "שיפור גזע הסוסים".

    מקורות:

  • מרוץ המכוניות

    לפעמים הצהרה פשוטה למדי, אם מנוסחת באופן לא מוכר, תגרום למבוכה ניכרת. הנה דוגמה, וללא ספק היא תבלבל קצת את חלק מקוראי הצעירים יותר שלי. במקרה הייתי במרוץ מכוניות בברוקלנדס, כשצופה אחד אמר למשנהו, בזמן שמספר מכוניות הסתובבו סביב המסלול המעגלי:—

    "הנה גוגלסמית'—האיש הזה במכונית הלבנה!"

    "כן, אני רואה," הייתה התשובה; "אבל כמה מכוניות רצות במרוץ הזה?"

    אז באה התשובה המוזרה הזו:—

    "שליש מהמכוניות שלפני גוגלסמית' ועוד שלושה רבעים מאלה שמאחוריו יתנו לך את התשובה."

    עכשיו, האם אתה יכול לומר כמה מכוניות רצו במרוץ?

    מקורות:

  • עלייה במדרגות כזו

    בווילה פרברית יש גרם מדרגות קטן עם שמונה מדרגות, לא כולל משטח הנחיתה. החידה הקטנה שבה טומי סמארט הדהים את משפחתו היא זו. עליכם להתחיל מלמטה ולנחות פעמיים על הרצפה מעל (ולעצור שם בסיום), לאחר שחזרתם פעם אחת לקומת הקרקע. אבל עליכם להקפיד להשתמש בכל מדרגה אותו מספר פעמים. בכמה צעדים מעטים תוכלו לבצע את העלייה? זה נראה עניין פשוט מאוד, אבל סביר להניח שבניסיון הראשון שלכם תעשו הרבה יותר צעדים מהנדרש. כמובן שאסור לכם לעלות יותר ממדרגה אחת בכל פעם.

    טומי מכיר את הטריק, והראה אותו לאביו, שמצהיר על בוז לדברים כאלה; אבל כשהילדים במיטה, האב לוקח לעתים קרובות חברים למסדרון ונהנה מצחוק טוב על הבלבול שלהם. ובכל זאת, הכל כל כך פשוט כשאתה יודע איך זה נעשה.

    מקורות: