אלגברה, בעיות מילוליות

בעיות מילוליות מציגות אתגרים מתמטיים בהקשר סיפורי או של עולם אמיתי. פתרונן דורש תרגום הטקסט למשוואות או ביטויים מתמטיים ולאחר מכן יישום טכניקות מתמטיות מתאימות. אלו יכולות להקיף אריתמטיקה, אלגברה, גאומטריה וכו'.

בעיות תנועה פתרון בעיות מילוליות "מהסוף"

  • תולעת הספרים החרוצה

    ידידנו, פרופסור ראקבריין, נראה באיור כשהוא מציג עוד אחת מהחידות הקטנות שלו. הוא מסביר שמאז הפעם האחרונה שהוא נאלץ להוריד את שלושת הכרכים האלה של ספר מלומד ממקומם על המדפים שלו, תולעת ספרים קדחה למעשה חור ישר מהעמוד הראשון עד האחרון. הוא אומר שהעלים הם בעובי שלושה אינץ' בכל כרך, וכל כריכה היא בדיוק שמינית אינץ' בעובי, והוא שואל כמה ארוכה הייתה המנהרה שהתולעת החרוצה הייתה צריכה לקדוח בהכנת רכבת הצינור החדשה שלה. האם אתה יכול לספר לו? מקורות:

  • חידת שרשרת

    זוהי חידה המבוססת על רעיון נחמד שבו עסק לראשונה מר סם לויד המנוח. לאיש היו תשעה חלקי שרשרת, כפי שמוצג באיור. הוא רצה לחבר את חמישים החוליות האלה לשרשרת אינסופית אחת. יעלה פרוטה לפתוח כל חוליה ושתי פרוטות לרתך חוליה בחזרה, אבל הוא יכול לקנות שרשרת אינסופית חדשה באותו אופי ואיכות עבור `2`s. `2`d. מה היה המהלך הזול ביותר עבורו? אלא אם כן הקורא ערמומי הוא עלול למצוא את עצמו רחוק מהתשובה. מקורות:

  • הבעיה של לוח מזמורי התפילה

    ויקאר צ'אמפלי סנט וויניפרד הנכבד נמצא במצוקה רבה. קושי כנסייתי קטן התעורר, ונראה שכל האינטליגנציה המשולבת של הקהילה אינה מסוגלת להתגבר עליו. מה הקושי הזה, אספר בהמשך, אך ייתכן שיוסיף לעניין בבעיה אם אתן תחילה תיאור קצר של המצב המוזר שנוצר. הכל קשור ללוחות מזמורי התפילה של הכנסייה, שהלוחות שלהם ניזוקו כל כך שהם חדלו למלא את המטרה שלשמה הם נועדו. אחד מבני הקהילה הנדיבים הבטיח לשלם עבור סט לוחות חדש בתעריף עלות מסוים; אך מוזר ככל שזה יישמע, לא ניתן להגיע להסכמה לגבי מה צריכה להיות העלות הזו. יצרן הלוחות המוצע נקב במחיר שהתורם מכריז עליו כאבסורדי. הכומר הטוב חושב ששניהם טועים, אז הוא מבקש ממנהל בית הספר לפתור את התרגיל הקטן. אבל האינדיבידואל הזה מצהיר שהוא לא יכול למצוא שום כלל הנוגע לנושא הזה באף אחד מספרי החשבון שלו. לאחר שהוגשה בקשה לרופא המקומי, כאדם בעל אינטלקט ממוצע ומעלה בצ'אמפלי, הוא הבטיח לכומר שהפרקטיקה שלו כה כבדה שאין לו זמן אפילו להסתכל על כך, אם כי עוזרו לוחש שהרופא יושב ער בצורה יוצאת דופן במשך כמה לילות האחרונים. לאלמנה וילסון יש בן חכם, ששמועה אומרת שזכה פעם בפרס על פתרון חידות. הוא טוען מכיוון שהוא לא יכול למצוא שום פתרון לבעיה, זה חייב להיות קשור לריבוע המעגל, הכפלת הקוביה או חלוקת זווית לשלושה; בכל אופן, הוא מעולם לא ראה בעבר חידה על העיקרון, והוא מוותר.

     

    זה היה מצב העניינים כאשר עוזר הכומר (ש, אני חייב לומר, הודה בכנות מההתחלה שמחקר מעמיק בתאולוגיה הוציא מראשו את כל הידע במתמטיקה שהיה לו אי פעם) שלח לי בחביבות את החידה.

    לכנסייה יש שלושה לוחות מזמורים, כל אחד כדי לציין את המספרים של חמישה מזמורים שונים שיש לשיר בתפילה. כל הלוחות נמצאים בשימוש באותה תפילה. ספר המזמורים מכיל `700` מזמורים. נדרש סט מספרים חדש, ואחד מבני הקהילה מציע להגיש סט צבוע על לוחות מתכת, אך מתנה שיירכשו רק המספר הקטן ביותר של לוחות הכרחיים. עלות כל לוח היא `6`d., ועבור צביעת כל לוח החיובים הם: עבור לוח אחד, `1`s.; עבור שני לוחות דומים, `11`¾d. כל אחד; עבור שלושה לוחות דומים, `11`½d. כל אחד, וכן הלאה, כאשר התשלום הוא פרוטה אחת פחות ללוח עבור כל לוח צבוע באופן דומה. עכשיו, מה צריכה להיות העלות הנמוכה ביותר?

    הקוראים ישימו לב שעליהם להשתמש בכל שיטה לגיטימית ומעשית של חיסכון. האיור יבהיר את אופיים של שלושת לוחות המזמורים והלוחות. חמשת המזמורים מצוינים כאן באמצעות שנים עשר לוחות. לוחות אלה מחליקים בנפרד מאחור, ובאיור יש מקום, כמובן, לשלושה לוחות נוספים.

    מקורות:

  • ציד פזיונים

    חבר קוקני, הנוטה להגזים מאוד, וברור שהוא פחות ספורטאי ממה שהוא טוען, מספר לי את הסיפור הלא מאוד אמין הבא:—

    "זה עתה חזרתי מציד פזיונים עם ידידי הדוכס. היה לנו ספורט נהדר, וביצעתי כמה יריות נפלאות. מה אתה חושב על זה, למשל? אולי תוכל להפוך את זה לחידה. הדוכס ואני חצינו שדה כשפתאום עשרים וארבעה פזיונים התרוממו באוויר ממש לפנינו. יריתי, ושני שלישים מהם נפלו מתים לרגלי. אחר כך הדוכס ירה בשארית, והפיל שלושה חלקי עשרים וארבעה מהם, פצועים בכנף. עכשיו, מתוך אותם עשרים וארבעה ציפורים, כמה עדיין נשארו?"

    נראה שזו שאלה פשוטה למדי, אבל האם הקורא יכול לתת תשובה נכונה?

    מקורות:

  • הגנן והטבחית

    כתב לי כתב שכינה את עצמו "סיימון הפשוט", והציע שאציג חידת תחבולה מיוחדת בגיליון של השבועון ליום השוטים הבינלאומי, `1900`. אז נתתי את החידה הבאה, והיא גרמה לשעשוע רב; מתוך קהל מתחרים גדול מאוד, רבים מהם מומחים למדי, אף אדם לא פתר אותה, למרות שהיא רצה כמעט חודש.

     

    "האיור הוא סקיצה דמיונית של הכתב שלי, 'סיימון הפשוט,' מנסה לפתור את החידה האריתמטית הקטנה והתמימה הבאה. מרוץ בין גבר לאישה שהייתי עד לו באחד מיום השוטים הבינלאומי נחקק בזיכרוני. זה קרה באחוזה כפרית, שם הגנן והטבחית החליטו לרוץ לתחרות לנקודה במרחק של `100` רגל ישר וחזרה. גיליתי שהגנן רץ `3` רגל בכל צעד והטבחית רק `2` רגל, אבל אז היא עשתה שלושה צעדים לשני הצעדים שלו. עכשיו, מה הייתה תוצאת המירוץ?"

    שבועיים לאחר הפרסום הוספתי את ההערה הבאה: "הועלתה ההצעה שאולי יש תחבולה ב'חזרה', אבל אין כזו. המירוץ הוא לנקודה במרחק `100` רגל וחזרה הביתה—כלומר, מרחק של `200` רגל. כתב אחד שואל האם לוקח להם בדיוק אותו זמן להסתובב, ואני משיב שכן. נראה שאחר חושד שזה בעצם חידה, והתשובה היא ש'תוצאת המירוץ הייתה תיקו (נישואין)'. אבל לא הייתה לי כוונה כזו. החידה היא אריתמטית, כפי שהיא מתיימרת להיות."

    מקורות:

  • שאלה

    הדרך מהבית עד בית הספר לוקחת ליוסי `20` דקות. יום אחד, כשיוסי כבר היה בדרך לבית ספר, הוא נזכר ששכח את העט בבית. אם הוא ימשיך עכשיו את דרכו לבית הספר, הוא יגיע `3` דקות לפני הצלצול. ואם הוא יחזור הביתה להביא את העט, הוא יאחר לשיעור ב-`7 ` דקות. איזה חלק מהדרך לבית ספר עבר יוסי ברגע כשהוא נזכר שאין לו עט?

    הערה: יוסי הולך כל הזמן במהירות קבועה.

    מקורות:

  • הזבוב החסר מנוח

    ערים A ו-B נמצאות במרחק של 300 קילומטרים זו מזו. שני רוכבי אופניים יוצאים בו-זמנית מ-A ומ-B זה לקראת זה. המהירויות שלהם קבועות ושוות ל-`30` קמ"ש ו-`20` קמ"ש בהתאמה. באותה הרגע מעיר A יצא זבוב שעף במהירות של `100` קמ"ש. הזבוב עוקף את רוכב האופניים הראשון ועף עד שהוא פוגש את רוכב האופניים שיצא מהעיר B. ברגע שהזבוב פוגש את רוכב האופניים. הוא מייד מסתובב ועף בחזרה, עד שהוא פוגש שוב את רוכב האופניים הראשון, ואז הוא שוב מסתובב, וכך הלאה, עד שרוכבי האופניים נפגשו. כמה קילומטרים עבר הזבוב?

  • שאלה

    בשעה  `12:00` שני המחוגים של שעון מתלכדים. בעוד כמה זמן בדיוק הם יתלכדו שוב? כמה פעמים תוך יממה אחת הם יתלכדו?

  • שאלה

    תוך כמה זמן רכבת שמהירותה `60` קמ"ש ואורכה `50` מטרים תעבור דרך מנהרה באורך של `50` מטרים?

  • שאלה

    נינה ומאיר יצאו בו-זמנית יחד מביתם והלכו לבקר את סבתא. המסלול מביתם לבית סבתם הוא באורך 3 ק"מ, ולאורכו ממוקמים ספסלים.

    נינה מתיישבת על כל ספסל בדרך כדי לאכול עוגייה אחת. היא אוכלת כל עוגייה במשך אותו מספר שלם של דקות. גם מאיר עוצר ומתיישב על כל ספסל כדי לאכול עוגייה אחת.

    לוקח למאיר פי שתיים יותר זמן מנינה לאכול עוגייה. כמו כן, ידוע כי נינה הולכת במהירות 3 קמ"ש, ומאיר במהירות 4 קמ"ש.

    התברר כי מאיר ונינה הגיעו בו זמנית לבית של סבתא.

    כמה ספסלים היו בדרך? מצאו את כל האפשרויות ונמקו את תשובתכם

    מקורות: