证明与示例, 构造示例/反例
这涉及找到满足给定条件集的具体实例（示例）或反驳一般陈述的实例（反例）。这是理解数学主张的关键技能。问题直接要求进行此类构造。
-
整数系数？
已知实数 a,b,c 使得对于每个整数 x，数 `ax^2+bx+c` 是整数。 这是否一定意味着 a,b,c 都是整数？ 证明成立或提供反例。
来源： -
平面上的集合
A. 是否存在一个平面上的集合 A，使得它与每个圆的交集恰好包含两个点？
B. 是否存在一个平面上的集合 B，使得它与每个半径为 1 的圆的交集恰好包含两个点？
来源： -
第1224位数字
将自然数按顺序从左到右写下来：
1234567891011...
例如，请注意，第10位数字是1，第11位数字是0。
继续这样写下去，需要多少写多少...
序列中第1224位数字是什么？
来源： -
这里真挤！
游戏板上以“金字塔”形状排列着 55 个齿轮：
底层有 10 个齿轮，上一层有 9 个齿轮，以此类推。
在这种状态下，齿轮无法自由旋转（说服自己为什么！）。
移除齿轮以允许自由移动。
最多可以有多少个齿轮留在板上，以便所有齿轮都可以旋转？
来源： -
三角形公园的小路
在一个公园里，有3条直线小路构成一个三角形（没有其他小路）。公园的入口位于每条小路的中间，并且在三角形的每个顶点都悬挂着一盏灯。从每个入口处测量沿公园小路到对面顶点的灯的最短步行距离。结果发现，3个距离中有2个彼此相等。三角形一定是等腰三角形吗？
来源：