证明与示例, 构造示例/反例
这涉及找到满足给定条件集的具体实例（示例）或反驳一般陈述的实例（反例）。这是理解数学主张的关键技能。问题直接要求进行此类构造。
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问题
三个自然数的和是否可能被它们中的每一个数整除？
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问题
黑板上写着以下数字：
`1,2^1,2^2,2^3,2^4,2^5`
在一次操作中，允许擦除黑板上写的两个数字，并用它们的（非负）差替换它们。
是否可以通过这些操作达到黑板上只写一个数字，且该数字为 `15` 的状态？
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问题
一些数字的总和等于`1`。它们的平方和可能小于十分之一吗？
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精巧的任務
哈娜有一個籃子，裡面有 `13` 個蘋果。哈娜想知道所有這些蘋果的總重量。瑞秋有一個電子秤，她願意幫助哈娜，但僅在以下條件下：每次稱重哈娜只能稱重 `2` 個蘋果，並且稱重的次數不能超過 `8` 次。
解釋在這些條件下，哈娜如何才能知道蘋果的總重量。
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问题
假设有两座金字塔彼此相切，如果它们没有共同的内部点，并且它们的交集是一个非退化的平面多边形。 是否有可能空间中的 8 座金字塔全部彼此相切？
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阿. 安吉安斯 -
问题
给定多项式`P(n)=n^2+n+41`。对于所有自然数`n`，这个多项式都取素数值吗？
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问题
游戏在一个无限的平面上进行。一个玩家移动狼，另一个玩家移动 K 只羊。狼走一步后，一只羊走一步，然后狼再走，以此类推。每一步，狼或羊最多只能向任何方向移动一米。在任何初始状态下，狼是否总能抓住至少一只羊？
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问题
一只蚱蜢可以向前跳 `80` 厘米，也可以向后跳 `50` 厘米。蚱蜢是否可以在少于 `7` 跳之内，恰好从起点移动一米 `70` 厘米？
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问题
是否可以将一个三角形切割成以下四个凸形状：三角形、四边形、五边形和六边形？
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问题
给定一个 `10×10` 厘米的纸。你能否从这张纸上剪出若干个圆，使得它们的直径之和大于 `5` 米？