证明与示例, 构造示例/反例
这涉及找到满足给定条件集的具体实例（示例）或反驳一般陈述的实例（反例）。这是理解数学主张的关键技能。问题直接要求进行此类构造。
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问题
一个平面被涂成两种颜色（也就是说，平面上的每个点都被涂成这两种颜色之一）。证明存在平面上距离为 `1` 的两个点，且它们具有相同的颜色。
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问题
是否存在一个四边形，可以通过两条直线切割成 `6` 个部分？请给出理由或提供一个例子。
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9公斤的米
你有`9` 公斤的米。 如何用一个天平和两个砝码（`200`克和`50`克）称出`2`公斤的米，并且只能称三次？
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框架
在一个给定的方格纸上有一个大小为 `NxxN` 的正方形。我们考虑其厚度为一个方格的框架。它由 `4*(N-1)` 个方格组成。
你是否能将 `4*(N-1)` 个连续整数（不一定是正数）填入框架的方格中，使得满足以下条件：
对于每个顶点都在框架上且边与原始正方形的对角线平行的矩形，其顶点上的数字之和等于一个常数。 这也包括“退化”的宽度为零的矩形，这些矩形与正方形的对角线重合 - 在这种情况下，只需将正方形的相对顶点的两个数字相加
对于：
a. `N=3`
b. `N=4`
c. `N=5`
来源：
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问题
一. 假设您有一个12升的大油罐，以及两个空的容器，分别为5升和8升。您是否能够将油分成两个相等的部分？您只有这些容器，没有其他测量工具。
二. 同样的问题，但不是5升的容器，而是一个4升的容器。
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问题
`120` 个相同的球被排列成一个三角形金字塔。金字塔有多少层？
注意：这是一个金字塔，即三维形状，而不是平面上的三角形。
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问题
在 `8xx8` 的棋盘上最多可以放置多少个互不攻击的国王？
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问题
在一个`8xx8`的棋盘上，最多可以放置多少个互不攻击的车？
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问题
Shlomi 有一个尺寸为 `5xx5` 厘米的扁平盒子。 Shlomi 声称，任何可以放入此盒子的矩形，其所有边都必须小于 5 厘米。 他是对的吗？
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问题
在神奇的国度里，只有两种货币：`16` 勒克（魔法里拉）和 `27` 勒克。 是否有可能购买一本价值 1 魔法里拉的笔记本并获得精确的找零？