证明与示例, 构造示例/反例
这涉及找到满足给定条件集的具体实例（示例）或反驳一般陈述的实例（反例）。这是理解数学主张的关键技能。问题直接要求进行此类构造。
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问题
给定 `50` 个介于 `1` 和 `100` 之间的不同自然数。已知其中任意两个数的和不等于 `100`。是否正确地断言这些数中必有一个是完全平方数？
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问题
每天晚上，尤瓦尔在随机时间完成工作并到达公共汽车站。 在这个车站停靠着两辆公共汽车：`7` 路车，开往尤瓦尔的家，以及 `13` 路车，开往他的朋友什洛米的家。 尤瓦尔乘坐先到的公共汽车，因此去什洛米家或回家。
过了一段时间，尤瓦尔注意到，下班后他去什洛米家的次数大约是他回家的次数的两倍。 他由此推断，`13` 路公共汽车的频率是 `7` 路公共汽车的两倍。
尤瓦尔一定是对的吗？
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三个赛跑者
三名赛跑者，A、B 和 C，多次一起进行了百米赛跑。裁判声称 A 比 B 先到达终点的次数超过一半，B 比 C 先到达终点的次数超过一半，而 C 比 A 先到达终点的次数超过一半。
这可能吗？
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所有马都有相同的颜色吗？
Shlomi声称他已经通过归纳法证明，在每个马群中，所有的马都是相同的颜色：
如果只有一匹马，那么它的颜色就是它自己的颜色 - 因此我们证明了归纳基础成立。
为了进行归纳步骤，我们将马从`1`编号到`n`。根据归纳假设，编号从`1`到`n-1`的马，它们的颜色都相同。类似地，编号从`2`到`n`的马，它们的颜色也全部相同。并且由于从`2`到`n-1`的马的颜色是固定的，并且不能根据我们将它们分配到这个或那个组的方式而改变，那么马`1`和`n`也必须是相同的颜色。
Shlomi在他的证明过程中是否犯了错误？如果是这样，请找出错误。
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问题
给定序列 `1 , 1/2 ,1/3 ,1/4 ,1/5,...`，是否存在一个由上述序列的项组成的等差数列？
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长度为 5
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任意长度
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切割
从一个 `9 times 9` 的正方形中，最多可以切割出多少个 `2 times 5` 的矩形？
来源： -
问题
在一个正五边形的顶点上写着数字 `1,2,3,4,5`，每个顶点恰好写一个数字。如果一个顶点三元组构成一个等腰三角形，且其顶点的数字大于另两个顶点或小于另两个顶点，则该三元组被称为成功的。
求出可能的最大成功三元组数量。
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十位數數字
雅ael正在寫十位數的數字，在它們的十進制表示法中，每個數字`0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9`恰好出現一次。
来源：
在雅ael寫的數字中，任何兩個相鄰數字之間的差至少為2。雅ael可以寫的最小數字是什麼？
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圆桌会议
一张圆桌旁有 12 个座位，一些座位上坐着骑士。亚瑟想要加入会议，
来源：
并且无论他坐在哪里，他旁边肯定有人坐着。
为了确保这种情况发生，圆桌旁最少可以有多少位骑士？（不包括亚瑟） -
彩色街道 2
沿街有 15 栋房屋，颜色为红色、蓝色和绿色。每种颜色至少有一栋房屋。
来源：
每两栋蓝色房屋之间有一栋红色房屋。每两栋绿色房屋之间有一栋蓝色房屋。
绿色房屋的最大数量是多少？
注意：街道是直的，所有房屋都位于街道的一侧。