תורת המספרים

תורת המספרים היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות של מספרים שלמים. נושאים כוללים מספרים ראשוניים, חלוקה, קונגרואנציות (חשבון מודולרי), משוואות דיופנטיות ופונקציות של מספרים שלמים. שאלות דורשות לעיתים קרובות חשיבה אנליטית ויצירתית על מספרים.

מספרים ראשוניים משפט השאריות הסיני חשבון השאריות המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית מספרים משולשיים חלוקה

• צבאו של הסולטן

  סולטן מסוים רצה לשלוח לקרב צבא שניתן היה ליצור ממנו שתי ריבועים מושלמים בשתים עשרה דרכים שונות. מהו המספר הקטן ביותר של אנשים מהם יכול היה להיות מורכב הצבא? כדי להבהיר זאת למתחילים, אסביר שאם היו `130` אנשים, ניתן היה ליצור אותם לשני ריבועים בשתי דרכים שונות בלבד - `81` ו-`49`, או `121` ו-`9`. כמובן, יש להשתמש בכל האנשים בכל הזדמנות.
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 136

• חובבי קולנוע

  אבי, בני וגילי אוהבים קולנוע. אבי הולך לקולנוע פעם ב-`3` ימים, בני – פעם ב-`5` ימים, וגילי הולכת פעם ב-`7` ימים. היום הם כולם הלכו לקולנוע ביחד. בעוד כמה ימים זה יכול לקרות שוב?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  הסוכריות "מתמטיקה מתוקה" נמכרות בקופסאות של `12` יחידות, והסוכריות "גיאומטריה עם אגוזים" – בקופסאות של `15` יחידות.

  מה המספר המינימלי של הקופסאות שצריך לקנות כך שיהיו כמויות שוות של סוכריות משני הסוגים?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  מצא את המספר השלם החיובי הקטן ביותר N, שעבורו המספר `N/2 + N/3 + N/4 + N/5 + N/6` הוא גם מספר שלם.

  נושאים:

  אריתמטיקה -> שברים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"ב, שלב א שאלה 1

• נשות השוק

  מספר נשות שוק מכרו את מוצריהן השונים במחיר מסוים לליברה (שונה בכל מקרה), וכל אחת קיבלה את אותו הסכום - `2`s. `2`½d. מהו המספר הגדול ביותר של נשים שיכלו להיות שם? המחיר לליברה בכל מקרה חייב להיות כזה שניתן לשלם אותו בכסף מקובל.
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 18

• שאלה

  למוכר יש שני גלילי בד, כל אחד באורך של `36` מטרים. הוא מוכר בד בחתיכות של `3` מטרים. כמה פעמים יצטרך המוכר לחתוך את הבד?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  שני פועלים סוללים שני קילומטרים של כביש תוך יומיים. כמה פועלים דרושים כדי לסלול `20` קילומטרים של כביש תוך `20` ימים?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה

• שאלה

  לשלושה קיפודים יש שלוש חתיכות גבינה של `5`, `8` ו-`11` גרם. שועל מציע לקיפודים לעזור להם לחלק את הגבינה שווה בשווה. הפעולה שהשועל יכול לעשות זה לנגוס גרם אחד מכל אחת משתי חתיכות גבינה לבחירתו. האם השועל יוכל להגיע בעזרת פעולות אלו למצב בו הוא ישאיר לשלושה הקיפודים חתיכות שוות של גבינה?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• 5 = 6?

  בפניכם "הוכחה" ש-`5` שווה ל-`6`:

  `35+10-41=42+12-50 `

  `35+10-45=42+12-54 `

  `5*(7+2-9)=6*(7+2-9) `

  ׂ`5=6`

  איפה הטעות?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות תורת המספרים -> חלוקה

• שאלה

  כיצד לחלק `7` תפוחים בין `12` ילדים שווה בשווה, אם אסור לחתוך כל תפוח ליותר מ-`5` חתיכות?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru