תורת המספרים

תורת המספרים היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות של מספרים שלמים. נושאים כוללים מספרים ראשוניים, חלוקה, קונגרואנציות (חשבון מודולרי), משוואות דיופנטיות ופונקציות של מספרים שלמים. שאלות דורשות לעיתים קרובות חשיבה אנליטית ויצירתית על מספרים.

• שלב לבש בלש

  בביטוי הבא אותיות שונות מסמנות ספרות שונות, ואותיות זהות מסמנות ספרות זהות:

  שלב = לבש + בלש

  מצאו את המספר שלב.

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימן חלוקה ב-11 אלגברה -> משוואות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 3

• שאלה

  מצאו את המספר הטבעי הגדול ביותר, שכל ספרותיו שונות זו מזו, ואם מסתכלים על כל 3 ספרות רצופות מקבלים מספר שמתחלק ב-13.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימן חלוקה ב-11 קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 7

• המספר המיסטי אחד עשר

  האם תוכלו למצוא את המספר הגדול ביותר האפשרי המכיל תשע מתוך עשר הספרות (בהתייחסות לאפס כספרה) אשר ניתן לחלק ב-`11` ללא שארית? האם תוכלו למצוא גם את המספר הקטן ביותר האפשרי שנוצר באותו אופן ומתחלק ב-`11`? הנה דוגמה, כאשר הספרה `5` הושמטה: `896743012`. מספר זה מכיל תשע מהספרות ומתחלק ב-`11`, אך הוא אינו המספר הגדול ביותר וגם לא הקטן ביותר שיעבוד.

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימן חלוקה ב-11
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 93

• שאלה

  בכיתה של דני יש `30` תלמידים. דני טוען כי מספר הבנים גדול יותר ב-`3` ממספר הבנות. האם יתכן שדני צודק?

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות

• שאלה

  על המעגל נתונות נקודות כחולות ואדומות. מותר להוסיף נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה או להסיר נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה בעבר (אסור להשאיר פחות מ-2 נקודות על המעגל). הוכח/י כי אי אפשר להעביר רק ע"י הפעולות האלה מעגל עם שתי נקודות אדומות למעגל עם שתי נקודות כחולות.
  ק. קזרנובסקי

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת הקבוצות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 1

• שאלה

  האם ניתן לרצף לוח `5xx5` על ידי אבני דומינו?

  הערה: גודל של משבצת הלוח תואם לגודל המשבצת של דומינו.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט

• שאלה

  האם תוכלו למלא טבלה בגודל `5xx5` על ידי

  א. מספרים שלמים,

  ב. מספרים ממשיים,

   כך שהסכום בכל שורה יהיה זוגי, והסכום בכל עמודה יהיה אי זוגי?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> ספירה כפולה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  בשתי כיתות בעלות כמויות זהות של תלמידים התקיים בוחן. אחרי בדיקת הבוחן, המורה טען שכמות של ציוני `0 ` הייתה ב-`13` גדולה יותר מכמות של כל הציונים האחרים ביחד. האם יש מצב שהוא טעה?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• האביר והדרקון

  אביר פגש בדרכו דרקון בעל שלושה ראשים, והם התחילו קרב. כל פעם כשהאביר עורף ראש לדרקון, מופיעים במקומו שלושה ראשים חדשים. האם יתכן שבסוף הקרב נהיה לדרקון אלף ראשים?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות

• שאלה

  האם ניתן לפרוט שטר של `25` לירות על ידי `10` מטבעות של `1`, `3` ו-`5` לירות?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru