גאומטריה, גאומטריה במישור

גאומטריה במישור עוסקת בצורות וגופים על משטח שטוח ודו-ממדי. היא מכסה תכונות של נקודות, קווים, זוויות, מצולעים (כמו משולשים ומרובעים) ומעגלים. שאלות כוללות בדרך כלל הוכחות, בנייה וחישובים הקשורים לאלמנטים אלו.

חשבון שטחים משולשים מעגלים סימטריה חשבון זוויות משפט פיתגורס אי שוויון המשולש

• ציור ספירלה

  אם תחזיקו את הדף אופקית ותסובבו אותו במהירות תוך כדי התבוננות במרכז הספירלה, היא תיראה כאילו היא מסתובבת. ייתכן שקוראים רבים מכירים את האשליה האופטית הקטנה הזו. אבל החידה היא להראות כיצד הצלחתי לצייר את הספירלה הזו בדיוק כה רב מבלי להשתמש בדבר מלבד זוג מחוגות ודף הנייר שעליו נעשה הדיאגרמה. איך הייתם פועלים בנסיבות כאלה?
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 183

• חידת הירח

  הנה חידה גיאומטרית קלה. הירח נוצר על ידי שני מעגלים, ו-C הוא מרכז המעגל הגדול יותר. רוחב הירח בין B ל-D הוא `9` אינץ', ובין E ל-F הוא `5` אינץ'. מהם הקטרים של שני המעגלים?
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 191

• חומות הגן

   

  יזם נדל"ן ספקולטיבי מחזיק בשדה עגול, עליו הקים ארבעה קוטג'ים, כפי שמוצג באיור. השדה מוקף בחומה מלבנים, והבעלים התחייב להקים עוד שלושה קירות לבנים, כך שהשכנים לא יוכלו להציץ אחד לשני, אך ארבעת הדיירים מתעקשים שלא תהיה אפליה, ושלכל אחד יהיה בדיוק אותו אורך שטח קיר לעצי הפרי שלו. החידה היא להראות כיצד ניתן לבנות את שלושת הקירות כך שלכל דייר יהיה אותו שטח אדמה, ובדיוק אותו אורך של קיר.

  כמובן, כל גן חייב להיות סגור לחלוטין על ידי קירותיו, וחייב להיות אפשרי להוכיח שלכל גן יש בדיוק אותו אורך של קיר. אם החידה נפתרת כראוי, אין צורך במספרים.

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 194

• חידת המַחְגֵּלִים

  זה משונה איך תנאי או מגבלה נוספים יכולים לפעמים להפוך חידה קלה באופן אבסורדי לחידה מעניינת ואולי קשה. אני זוכר שקניתי ברחוב לפני שנים רבות חידה מכנית קטנה שנמכרה בצורה אדירה באותה תקופה. היא כללה מדליה עם חורים, והחידה הייתה להעביר טבעת עם רווח מחור לחור עד שהיא ניתקה סופית. כשהלכתי ברחוב, מהר מאוד רכשתי את הטריק להסיר את הטבעת ביד אחת תוך כדי החזקת החידה בכיס. חבר שהראיתי לו את הפעלול הקטן ניגש להשיג זאת בעצמו, וכשפגשתי אותו כמה ימים לאחר מכן הוא הציג את מומחיותו באומנות. אבל הוא הופתע קצת כשלקחתי ממנו את החידה ואז, תוך כדי החזקת המדליה בין האצבע לאגודל של יד אחת, בסדרה של טלטלות ונענועים קטנים גרמתי לטבעת, בלי שאגע בה אפילו, ליפול על הרצפה. הבוחן הקטן הבא כנראה יתברר כאגוז קשה לפיצוח עבור קוראים רבים, פשוט בגלל התנאים המוגבלים:—

  הראו כיצד למצוא בדיוק את אמצעו של כל קו ישר באמצעות מַחְגֵּלִים בלבד. אסור להשתמש בשום סרגל, עיפרון או חפץ אחר—רק במַחְגֵּלִים; ולא יתאפשר שום טריק או התחמקות, כמו קיפול הנייר. אתם חייבים פשוט להשתמש במַחְגֵּלִים בצורה רגילה ולגיטימית.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 197

• בעניין גלגלים

   

  ישנן מספר עובדות מוזרות הנוגעות לתנועת גלגלים אשר עשויות לבלבל את המתחילים. לדוגמה: כאשר רכבת נוסעת מלונדון לקרו, חלקים מסוימים ברכבת, בכל רגע נתון, נעים למעשה מקרו לכיוון לונדון. האם תוכלו לציין את החלקים האלה? זה נראה אבסורדי שחלקים מאותה רכבת יכולים בכל זמן נתון לנוע בכיוונים מנוגדים, אך כך הם פני הדברים.

  באיור המצורף יש לנו שני גלגלים. הגלגל התחתון אמור להיות קבוע והגלגל העליון מסתובב סביבו בכיוון החצים. עכשיו, כמה פעמים הגלגל העליון מסתובב סביב צירו שלו במהלך סיבוב שלם סביב הגלגל השני? אל תמהרו עם התשובה, אחרת כמעט בטוח שתטעו. נסו זאת עם שני מטבעות על השולחן והתשובה הנכונה תפתיע אתכם, כשתצליחו לראות אותה.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> סיבוב
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 203

• הנחת מטבעות חצי פני

  הנה חידה קטנה ומעניינת שהוצעה לי על ידי מר וו. טי. וויט. סמנו על דף נייר שטח מלבני של `5` אינץ' על `3` אינץ', ואז מצאו את המספר הגדול ביותר של מטבעות חצי פני שניתן להניח בתוך המתחם בתנאים הבאים. קוטר של מטבע חצי פני הוא בדיוק אינץ' אחד. הניחו את מטבע חצי הפני הראשון שלכם היכן שתרצו, ואז הניחו את המטבע השני בדיוק במרחק של אינץ' אחד מהראשון, את השלישי במרחק של אינץ' אחד מהשני, וכן הלאה. אסור לאף מטבע חצי פני לגעת במטבע אחר או לחצות את הגבול. האיור שלנו יבהיר את העניין בצורה מושלמת. מטבע מספר `2` נמצא במרחק אינץ' אחד ממספר `1`; מספר `3` במרחק אינץ' אחד ממספר `2`; מספר `4` במרחק אינץ' אחד ממספר `3`; אבל אחרי שמניחים את מספר `10`, איננו יכולים להתקדם בניסיון זה. עם זאת, אפשר היה להכניס עוד כמה מטבעות חצי פני. כמה יכול הקורא להניח?
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 429

• שאלה

  נתון ישר `l` ושתי נקודות `A,B` במרחקים שונים מהישר. מצאו על הישר את הנקודה `C` עבורה ההפרש בין אורכי הקטעים `AC,AB` הוא הגדול ביותר.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז שאלה 3

• שאלה

  תהי M קבוצה של נקודות במישור. O נקרא מרכז סימטרייה חלקי אם אפשר לזרוק מ-M נקודה כך ש-O יהיה מרכז סימטרייה רגיל של מה שנותר. כמה מרכזי סימטרייה חלקיים יכולים להיות לקבוצת נקודות סופית במישור? 
  ו. פראסולוב 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות ט-י שאלה 2 נקודות 7

• ערימת דפים

  על השולחן נמצאים מספר דפי נייר זהים שצורתם מלבן. ידוע כי הדף העליון מכסה יותר מחצי שטח של כל דף אחר.  האם בהכרח ניתן לתקוע בשולחן הזה סיכה שתעבור דרך כל הדפים האלה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה

• שאלה

  חתכו את הצורה הנתונה לשני חלקים חופפים:

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות)