גאומטריה, גאומטריה במישור
גאומטריה במישור עוסקת בצורות וגופים על משטח שטוח ודו-ממדי. היא מכסה תכונות של נקודות, קווים, זוויות, מצולעים (כמו משולשים ומרובעים) ומעגלים. שאלות כוללות בדרך כלל הוכחות, בנייה וחישובים הקשורים לאלמנטים אלו.
חשבון שטחים משולשים מעגלים סימטריה חשבון זוויות משפט פיתגורס אי שוויון המשולש-
שעון בתחנת רכבת
שעון תלוי על קיר בתחנת רכבת, שאורכו `71` רגל `9` אינץ' וגובהו `10` רגל `4` אינץ'. אלו הם מידות הקיר, לא של השעון! בזמן שחיכינו לרכבת, שמנו לב שהמחוגים של השעון מצביעים בכיוונים מנוגדים, והיו מקבילים לאחד האלכסונים של הקיר. מה הייתה השעה המדויקת? מקורות: -
מרוץ היאכטות
ובכן, יא יבשושים, הניפו את המפרשים הקדמיים הקטנים שלכם, שלפו את הספינקרים, שחררו את יריעות הבלון והכינו את מפרשי הראש שלכם!
המרוץ שלנו מורכב מלהתחיל מהנקודה שבה היאכטה נמצאת באיור ולגעת בכל אחד משישים וארבעת המצופים בארבעה-עשר מסלולים ישרים, ולחזור בזיגזג הסופי למצוף ממנו התחלנו. המסלול השביעי חייב להסתיים במצוף שעליו מתנוסס דגל.
חידה זו תדרוש מיומנות ימית רבה בשל הזוויות החדות שבהן יהיה צורך לעיתים לעשות זיגזג. חוד של עיפרון ועין ימית טובה הם כל הציוד שאנו זקוקים לו.
זה קשה, בגלל התנאי לגבי מצוף הדגל, ובגלל שזהו מסלול חוזר. אבל שוב מותרים לנו הקווים האלכסוניים האלה.
מקורות:נושאים:גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות- שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 330
-
שאלה
חתכו ריבוע לשלושה חלקים, ואז הרכיבו מהם משולש חד-זווית שכל צלעותיו שונות.
נושאים:גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה -
שאלה
שני משולשים חופפים יוצרים מגן דויד כמו שמתואר בציור. הוכיחו כי השטח המושחר שווה לשטח המקווקו.
נושאים:גאומטריה -> חשבון שטחים הוכחה ודוגמה תורת הקבוצות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים -
שאלה
משולש שרירותי מעבירים משיקים למעגל החסום, במקביל לצלעות המשולש. המשיקים האלה חותכים מהמשולש המקורי שלושה משולשים קטנים. הוכיחו כי סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים במשולשים האלה שווה לרדיוס המעגל החסום במשולש המקורי.
נושאים:גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים -> משיק למעגל גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> דמיון משולשים -
טיול במישור
נתונה במישור מערכת צירים x-y. יש להגיע מהנקודה (1,0) אל הנקודה (2006,2005), כאשר בכל מהלך מותר לנוע יחידה אחת מעלה (בכיוון החיובי של y) או יחידה אחת ימינה (בכיוון החיובי של ציר א).
א. בכמה מסלולים שונים ניתן לבצע את המשימה?
ב. בכמה מסלולים שונים ניתן לבצע את המשימה אם אסור באף שלב לעבור דרך נקודה הנמצאת על הישר x=y?
מקורות:נושאים:קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> שיקוף- תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 7
-
חידת חולבת הפרות
הנה חידה כפרית קטנה, אשר במבט ראשון עשויה להוביל את הקורא להניח שהיא מעמיקה מאוד, וכוללת חישובים מורכבים. הוא אף עשוי לטעון שאי אפשר לתת תשובה כלשהי אלא אם כן נאמר לנו משהו מוגדר לגבי המרחקים. ובכל זאת היא ממש "ילדותית ותמימה."
בפינת שדה נראית חולבת חולבת פרה, ובצד השני של השדה נמצאת המחלבה, לשם יש להעביר את החלב. אבל שמו לב שהאישה הצעירה תמיד יורדת לנהר עם הדלי שלה לפני שהיא חוזרת למחלבה. כאן הקורא החשדן אולי ישאל מדוע היא מבקרת בנהר. אני יכול רק לענות שזה לא ענייננו. החלב לכאורה מיועד כולו לצריכה מקומית.
"לאן את הולכת, עלמה יפה שלי?"
"לנהר, אדוני," היא אמרה.
"אני לא אבחר את המחלבה שלך, עלמה יפה שלי."
"אף אחד לא שאל אותך, אדוני," היא אמרה.
אם למישהו הייתה סקרנות בעניין, רוח עצמאית כזו תנטרל אותו לחלוטין. אז נעבור מנקודת המבט של מוסר מסחרי לנושא החידה.
מתחו קו משרפרף החליבה אל הנהר ומשם אל דלת המחלבה, אשר יציין את המסלול הקצר ביותר האפשרי עבור החולבת. זה הכל. קל מאוד לציין את הנקודה המדויקת על גדת הנהר שאליה עליה לכוון את צעדיה אם היא רוצה את ההליכה הקצרה ביותר האפשרית. האם אתה יכול למצוא את הנקודה הזו?
מקורות:נושאים:בעיות מינימום ומקסימום גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> שיקוף- שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 187