גאומטריה, גאומטריה במישור

גאומטריה במישור עוסקת בצורות וגופים על משטח שטוח ודו-ממדי. היא מכסה תכונות של נקודות, קווים, זוויות, מצולעים (כמו משולשים ומרובעים) ומעגלים. שאלות כוללות בדרך כלל הוכחות, בנייה וחישובים הקשורים לאלמנטים אלו.

חשבון שטחים משולשים מעגלים סימטריה חשבון זוויות משפט פיתגורס אי שוויון המשולש

• משושה ומשולש

  יש משושה משוכלל ומשולש שווה צלעות עם היקף זהה.ידוע ששטח המשולש שווה ל-60. מצאו את שטח המשושה.

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 7
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 5

• מגן דוד כתום

  השטח של המשולש הכחול שווה ל-1. חשבו את השטח של מגן הדוד הכתום:

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 3

• זוויות

  חשבו את סכום הזוויות המסומנות:

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 5

• כמה משולשים?

  כמה משולשים יש בתמונה?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 7

• כמה משולשים - 2?

  כמה משולשים יש בתמונה?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 6

• אורך הקטע

  על הצלע BC של משולש ABC מסמנים נקודה D. היקף המשולש ABC שווה 15 סנטימטרים, היקף המשולש ABD הוא 12 סנטימטרים, היקף המשולש ACD הוא 13 סנטימטרים.
  מהו אורך הקטע AD?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ז-ח שאלה 2

• מעגל חסום במשולש

  בתוך משולש נמצאת נקודה P, שמרחקיה מהישרים עליהם נמצאות צלעות המשולש הם `d_a,d_b,d_c` נסמן ב R 
  את רדיוס המעגל החוסם את המשולש וב r את רדיוס המעגל החסום במשולש. הראו כי `sqrt(d_a)+sqrt(d_b)+sqrt(d_3)<= sqrt (2R+5r) `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> אי שוויונים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 7

• אורכי צלעות משולש

  יהי `n > 2` מספר שלם, ויהיו ` t_1,t_2,...,t_n` מספרים ממשיים חיוביים כך ש

  `(t_1+t_2+...+t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n) < n^2+1`

  הוכח כי לכל i,j,k כך ש- `1<=i<j<k<=n`, שלשת המספרים `t_i,t_j,t_k` הם אורכי הצלעות של משולש.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 5

• שבילים בפארק משולש

  בפארק יש 3 שבילים ישרים שיוצרים משולש (אין שבילים נוספים). הכניסות לפארק הן באמצעי השבילים, ובכל קודקוד של המשולש תלוי פנס. מכל כניסה מדדו את מרחק ההליכה הקצר ביותר, לאורך שבילי הפארק, עד הפנס בפינה הנגדית. התברר כי 2 מבין 3 המרחקים שווים זה לזה. האם המשולש בהכרח שווה-שוקיים?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 3

• שאלה

  בתוך ריבוע ABCD שאורך צלעו 1 סומנה נקודה E, ומחוץ לריבוע נקודה F, כך שהמשולשים ABE ו-DAF משוכללים. חשבו את השטח של המחומש CBEFD.
  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> סיבוב
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 6