אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

טכניקה אלגברית משוואות אי שוויונים בעיות מילוליות סדרות

• שאלה

  בשעה  `12:00` שני המחוגים של שעון מתלכדים. בעוד כמה זמן בדיוק הם יתלכדו שוב? כמה פעמים תוך יממה אחת הם יתלכדו?

  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון אלגברה -> בעיות מילוליות -> בעיות תנועה

• שאלה

  הוכיחו כי הפרש ריבועים של שני מספרים אי-זוגיים עוקבים מתחלק ב-`8`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  תוך כמה זמן רכבת שמהירותה `60` קמ"ש ואורכה `50` מטרים תעבור דרך מנהרה באורך של `50` מטרים?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון אלגברה -> בעיות מילוליות -> בעיות תנועה יחידות מידה

• שאלה

  הוכיחו לי לכל מספר ראשוני `p>3 ` מתקיים:`p^2-1` מתחלק ב-`6`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים

• שאלה

  מצאו מספר דו-ספרתי שהוא פי שתיים גדול יותר ממכפלת ספרותיו.

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> טכניקה אלגברית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  נינה ומאיר יצאו בו-זמנית יחד מביתם והלכו לבקר את סבתא. המסלול מביתם לבית סבתם הוא באורך 3 ק"מ, ולאורכו ממוקמים ספסלים.

  נינה מתיישבת על כל ספסל בדרך כדי לאכול עוגייה אחת. היא אוכלת כל עוגייה במשך אותו מספר שלם של דקות. גם מאיר עוצר ומתיישב על כל ספסל כדי לאכול עוגייה אחת.

  לוקח למאיר פי שתיים יותר זמן מנינה לאכול עוגייה. כמו כן, ידוע כי נינה הולכת במהירות 3 קמ"ש, ומאיר במהירות 4 קמ"ש.

  התברר כי מאיר ונינה הגיעו בו זמנית לבית של סבתא.

  כמה ספסלים היו בדרך? מצאו את כל האפשרויות ונמקו את תשובתכם

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות -> בעיות תנועה
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ו שאלה 1

• שאלה

  במשך שנה תפוחים התייקרו פעמיים ב-`50%` כל פעם, ולפני ראש השנה הם הוזלו ב-`50%`. מה המחיר החדש של קילו תפוחים, אם בתחילת השנה הם עלו `8` שקלים לקילו?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> אחוזים

• שאלה

  נתון פולינום `P(n)=n^2+n+41`. האם נכון שהפולינום הזה מקבל ערכים ראשוניים לכל `n` טבעי?

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אלגברה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  נתון מספר טבעי `A`. כשמגדילים אותו ב-`1`, הריבוע שלו גדֵל ב-`1001`. מצאו את `A`.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> משוואות

• שאלה

  בחדר יש כיסאות עם `4` רגליים ועם `3` רגליים. כאשר על כל הכיסאות התיישבו אנשים, נהיה `39` רגליים בחדר (לא נשארו אנשים שעומדים). כמה כיסאות מכל סוג יש בחדר?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית -> אלגוריתם אוקלידס אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות