אלגברה

אלגברה היא ענף רחב במתמטיקה המשתמש בסמלים (בדרך כלל אותיות) לייצוג מספרים ולהצגת כללים ויחסים. היא כוללת מניפולציה של ביטויים, פתרון משוואות ואי-שוויונים, וחקר פונקציות ומבנים. שאלות מכסות מגוון רחב של נושאים אלו.

טכניקה אלגברית משוואות אי שוויונים בעיות מילוליות סדרות

• שאלה

  פי כמה סכום כל המספרים מ-1 עד 99 קטן מסכום כל המספרים מ-1 עד 9999?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 2

• שאלה

  לסבתא חנה יש הרבה עציצים עם פרחים בבית. יום אחד הגיעו אליה שלושת הנכדים שלה, אבי, בני וגילי, וניסו לנחש כמה עציצים יש לה.
  אבי אמר: "לסבתא יש יותר מ-8 עציצים",
  בני אמר: "יותר מ-10, לדעתי",
  ואז גילי אמרה: "לסבתא חנה יש לפחות 12 עציצים".
  "שניים מכם צדקו, ומישהו אחד טעה"–ענתה הסבתא. אז כמה עציצים יש לה בבית?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 3

• שורש הגפרור

  הזז גפרור אחד וקבל שוויון נכון:

  

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים חידות ורבוסים -> חידות גפרורים

• מכפלות שטחים

  בציור מלבן ונקודה בתוכו. מעבירים דרך הנקודה שני קטעים מקבילים לצלעות המלבן שמחלקים את המלבן ל-4 מלבנים קטנים יותר.
  הוכיחו כי מכפלת השטחים המקווקוים בתוך המלבן שווה למכפלת השטחים הלבנים בתוך המלבן.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 4

• כבשים וגמלים

  לשמואל יש עדר בו 9 כבשים ו-5 גמלים. הוא רוצה לחלק את העדר בין שני בניו, יוסי ודני, כך שכל אחד מהם יקבל חלק שווה ערך.
  ידוע כי 7 כבשים עולות כמו 3 גמלים. כיצד יכול שמואל לחלק את העדר בין שני בניו שווה בשווה, בלי למכור אף חיה?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 5
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 1

• בול עץ

  ברשותכם בול עץ ארוך מאוד. האם תוכלו למדוד ממנו מטר אחד בדיוק,אם יש לכם לצורך זה
  א. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 40 סנטימטרים,
  ב. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 30 סנטימטרים,

  במידה ואין לכם שום כלי מדידה נוספים? נמקו!

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 7
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 2

• ציוד לבית הספר

  מחק ושני עפרונות עולים יחד  19 לירות, עפרון ושתי מחברות עולים יחד 23 לירות, מחברת ושני
  מחקים עולים יחד 18 לירות. כמה עולים יחד מחק, עפרון ומחברת?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 4

• סכום

  בתרגיל הבא ספרות שונות הוחלפו באותיות שונות, והסכום הוא מספר תלת ספרתי.
  מה הוא הסכום, אם המספר "בא" קטן ככל האפשר?
  \(\begin{align} אב& \\ \underline{+\quad בא}& \\ ***& \end{align}\)

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 5

• פאזל

  ברשותכם פאזל, שכל חתיכה שלו נראית כך:

  

  
  הצורה הבאה מורכבת מ-12 חתיכות. מה הוא ההיקף שלה?

  

  נושאים:

  אריתמטיקה גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 6

• פולינום פיבונאצ'י

  סדרת פיבונאצ'י מוגדרת לפי `F_1 = F_2 = 1` ונוסחת הנסיגה `F_n = F_{n-1} + F_{n-2}` לכל `n >= 3` שלם. נתונים `m,n >= 1` טבעיים. מצאו את המעלה המינימלית `d` כך שקיים פולינום `f(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + ... + a_1 x + a_0` המקיים `f(k) = F_{m+k}` לכל `k = 0,1,...,n` נמקו את תשובתכם

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> סדרות -> נוסחאות נסיגה
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ו שאלה 5