组合数学

组合数学是计数的艺术。它处理对象的选择、排列和组合。问题涉及确定执行任务、排列项目（排列）或选择子集（组合）的方式数量，通常使用乘法原理和加法原理等原则。

鸽巢原理 双重计数 二项式系数和帕斯卡三角形 乘法法则/乘积法则 图论 匹配 归纳法（数学归纳法） 博弈论 组合几何学 不变量 案例分析/检查案例 过程/程序 数字表格 着色问题

• 问题

  在一个圆上有 5778 个间距相等的熄灭的灯。每个灯下面都有一个按钮。当按下按钮时，会改变 4 个灯的状态：按钮旁边的灯，顺时针方向的下两个灯，以及与按钮相对的灯（熄灭的灯在改变状态时会亮起，而亮着的灯会熄灭）。最多能同时亮多少个灯？
  

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 组合数学 -> 不变量 逻辑学 -> 推理/逻辑 数论 -> 除法 -> 奇偶性 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 组合数学 -> 着色问题
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2017, Grade 8 问题 8

• 问题

  一行中按升序排列着六个连续的自然数。第一个数的数字之和为 40，且最后一个数的数字之和为 18，这有可能吗？

  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2019, 8th grade 问题 1

• 问题

  将图中的形状分成7个全等的部分。
  

  主题：

  几何学 组合数学 -> 组合几何学 -> 切割图形/分割问题
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2019, 8th grade 问题 3

• 问题

  桌子上有100个杯子，里面分别装着`101, 102,...,200`颗珠子。两个人玩以下游戏：每人轮流选择一个杯子，并从中取出任意数量的珠子。如果某个玩家行动后，发现有两个杯子里的珠子数量相同，则该玩家输掉。谁有必胜策略：先手还是后手？

  主题：

  组合数学 -> 不变量 组合数学 -> 博弈论
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2019, 7th grade 问题 8
  • Beno Arbel Olympiad, 2019, 8th grade 问题 6

• 问题

  给出5枚外观相同的银币和5枚外观相同的金币。在银币中，有四枚真币，它们的重量相同，还有一枚假币，比真银币重一克。在金币中，有四枚真币，它们的重量相同，还有一枚假币，比真金币轻一克。是否可以用天平称三次，找出这两枚假币？

  主题：

  逻辑学 -> 推理/逻辑 算法理论 -> 称重问题 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2019, 8th grade 问题 8