קומבינטוריקה

קומבינטוריקה היא אמנות הספירה. היא עוסקת בבחירות, סידורים וצירופים של אובייקטים. שאלות כוללות קביעת מספר הדרכים לביצוע משימות, סידור פריטים (תמורות), או בחירת תת-קבוצות (צירופים), תוך שימוש לעיתים קרובות בעקרונות כמו עקרון המכפלה ועקרון הסכום.

עקרון שובך היונים ספירה כפולה מקדמים בינומיים ומשולש פסקל כלל המכפלה תורת הגרפים התאמות אינדוקציה תורת המשחקים גאומטריה קומבינטורית אינווריאנטים בדיקת מקרים תהליכים טבלאות מספריות צביעות

• עוד מספרים בספרות עולות

  מירי רושמת את כל המספרים שברישום העשרוני שלהם מופיעות רק הספרות `1, 2, 3, 4, 5, 6`
  (לא כל הספרות חייבות להופיע) וכל הספרות שמופיעות רשומות בסדר עולה (למשל 1356 או 124 או 5 אבל לא 162 ולא 1223).
  כמה מספרים מירי תרשום?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה תורת הקבוצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 7

• השולחן העגול

  סביב שולחן עגול 12 כיסאות, על חלק מהכיסאות יושבים אבירים. ארתור רוצה להצטרף לישיבה,
  ומסתבר שלא משנה איפה הוא ישב, בוודאות מישהו יושב לידו.
  מהו המספר הקטן ביותר של אבירים שיכולים להיות סביב השולחן כדי שזה בוודאות יתקיים? (לא כולל ארתור)

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 1

• שתי סולמיות

  מהו המספר המרבי של צורות "דומינו" (מלבנים `1 times 2` או `2 times 1`) שניתן למקם בתוך הצורה הכתומה,
  כך שהם לא יעלו אחד על השני ולא יחרגו מחוץ לגבולות הצורה?

  

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 2
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 1

• אבני דומינו

  אבן דומינו היא מלבן המורכב משני ריבועים, על כל אחד מהריבועים מסומנות נקודות.
  מספר הנקודות על כל ריבוע יכול להיות מ-0 עד 6, וכל צירוף של זוג מספרים נמצא פעם אחת בדיוק (ללא חשיבות לסדר).
  סך הכל יש במשחק 28 אבנים. כמה נקודות יש על האבנים האלה בסך הכל?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 3

• כמה משולשים?

  כמה משולשים יש בתמונה?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 7

• המספר

  נתון מספר שלם חיובי שקטן מ-2000.
  אם הוא לא מתחלק ב-43 אז הוא מתחלק ב-41,
  אםהוא לא מתחלק ב-53 אז הוא מתחלק ב-43,
  אם הוא לא מתחלק ב-41 אז הוא מתחלק ב-53.
  מצאו את המספר.

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ג-ד שאלה 6
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 4

• שלב לבש בלש

  בביטוי הבא אותיות שונות מסמנות ספרות שונות, ואותיות זהות מסמנות ספרות זהות:

  שלב = לבש + בלש

  מצאו את המספר שלב.

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימן חלוקה ב-11 אלגברה -> משוואות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 3

• לוח ציור

  לצייר יש לוח משבצות `10 times 10`. בכל פעם הצייר בוחר שורה או עמודה וצובע את כולה בצבע לבחירתו.
  אם הוא עובר עם צבע חדש על משבצת שכבר נצבעה, הצבע החדש מכסה את הצבע הישן במלואו,
  כלומר, צבע המשבצת מתחלף.
  מהו המספר הגדול ביותר של צבעים שנוכל לראות על הלוח הזה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 5

• כמה משולשים - 2?

  כמה משולשים יש בתמונה?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 6

• 5 ישרים, 8 חיתוכים

  ציירו 5 ישרים, כך שתהיינה ביניהם בדיוק 8 נקודות חיתוך.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ג-ד שאלה 1