数论
数论是数学的一个分支，关注整数的性质。主题包括素数、可除性、同余（模算术）、丢番图方程和整数函数。问题通常需要对数字进行分析性和创造性思考。
素数 中国剩余定理 模算术/余数算术 最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM） 三角形数 除法-
问题
给定一个正整数N，考虑以下过程：记`S(N)`为N的各位数字之和，取`S(N)`的各位数字之和。重复此操作直到得到一个一位数。称执行上述过程直到得到一位数的次数为N的“深度”。例如，49的深度为`S(49)=13 -> S(13)=4)2`，执行了两次操作（49的深度为2），而45的深度为1。
a) 证明对于任何数N，其深度都是有限的，也就是说，在过程的某个阶段总会得到一个一位数。
b) 记`x(n)`为深度为N的最小数（值最小的数）。求`x(5776)`除以6的余数。请说明你的答案！
c) 求`x(5776) - x(5708)`除以2016的余数。请说明你的答案！
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问题
证明：从五个整数中，可以选择两个，它们的差能被`4`整除。
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问题
数字 `1` 到 `2n` 以某种顺序写在一行中。 将每个数字添加到它所处位置的索引。 证明在我们得到的 `2n` 个总和中，有两个总和的差能被 `2n` 整除。
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777
数字 `777^777` 的最后一位数字是什么？
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问题
数字 `43^43-17^17` 的个位数是什么？
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问题
是否存在一个完全平方数，其末尾数字为 `...2017`？
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问题
已知自然数 m,n 满足 `m/n <= sqrt 23`, 证明 `m/n+3/{mn} <= sqrt 23`成立。
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阶乘之和
对于每个正整数 n，我们用 `n! = 1*2*3*...*n` 表示。
找出所有整数 n，使得总和 `1! + 2! + 3! + ... + n!` 是一个整数的平方。
(解题格式: a,b,c,... 即最小的三个数用逗号分隔，没有空格，如果解不止这些，后面加三个点)
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有限除法
找出所有满足 `x^2+y^2=3z^2+3w^2 ` 的整数 x, y, z, w.
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被13除
在一张纸上写下从 1 到 2006 的所有自然数，并执行如下所述的一系列操作。在每个阶段，从列表中删除任意数量的数字，并将它们的总和标记为 S。用将 S 除以 13 所得的余数替换删除的数字。在执行若干次这样的步骤后，纸上只剩下两个数字。其中一个是 100。求另一个数。
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