数论, 模算术/余数算术

模算术（或余数算术）是一种系统，其中数字在达到某个值（模数）后会“环绕”。它处理同余和余数。问题涉及在模系统中解方程，求模`n`的幂，以及在模式或密码学中的应用。

• 能被2或5整除，但不能被3整除

  有多少个五位数能被2或5整除，但不能被3整除？

  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被3和9整除的规则 组合数学 -> 乘法法则/乘积法则
  来源：
  • Young Mathematician Olympiad, 2018-2019, Stage B, Grades 5-6 问题 4

• 黑板上的 6

  黑板上写着数字 6。 在每个步骤中，允许将数字 6 添加到数字的末尾（使其成为个位数），或者将数字替换为其各位数字之和。
  通过这种方式可以得到哪些数字？ 需要描述所有数字的集合，并解释为什么没有更多

  主题：

  算术 数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被3和9整除的规则 组合数学 -> 归纳法（数学归纳法） 逻辑学 -> 推理/逻辑 数论 -> 除法 -> 奇偶性 代数学 -> 数列 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序
  来源：
  • Young Mathematician Olympiad, 2018-2019, Final, Grades 3-4 问题 6
  • Young Mathematician Olympiad, 2018-2019, Final, Grades 5-6 问题 5

• 带有数字的卡片

  拉赫尔有三张带有不同数字的卡片，所有数字都大于 0。拉赫尔用这些卡片组成了所有可能的三位数，并计算了它们的总和。
  证明总和可以被 3 整除

  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被3和9整除的规则 逻辑学 -> 推理/逻辑 证明与示例
  来源：
  • Young Mathematician Olympiad, 2019-2020, Final, Grades 3-4 问题 6
  • Young Mathematician Olympiad, 2019-2020, Final, Grades 5-6 问题 5

• 问题

  黑板上写着从 1 到 `10^9`（包括 `10^9`）的所有数字。能被 3 整除的数字用红色书写，其余的数字用蓝色书写。所有红色数字的总和等于 `X`，所有蓝色数字的总和等于 `Y`。哪个数字更大，`2X` 还是 `Y`，大多少？

  主题：

  算术 数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被3和9整除的规则 逻辑学 -> 推理/逻辑 代数学 -> 数列 代数学 -> 不等式 -> 平均数/均值 数论 -> 除法
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2017, Grade 8 问题 2

• שלב לבש בלש

  在下面的表达式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字：

  שלב = לבש + בלש

  找到数字 שלב。

  主题：

  算术 数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被11整除的规则 代数学 -> 方程 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 谜题和画谜 -> 重构算式/密码算术
  来源：
  • Young Mathematician Olympiad, 2019-2020, Stage B, Grades 5-6 问题 3

• 问题

  找出最大的自然数，它的所有数字都互不相同，并且如果查看任意 3 个连续的数字，得到的数字都可以被 13 整除。

  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被11整除的规则 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2017, Grade 8 问题 7

• 问题

  A. 证明在 `11` 个自然数中，总能选出两个数，它们的个位数相同。

  B. 证明在 `11` 个自然数中，总能选出两个数，它们的差能被 `10` 整除。

  主题：

  组合数学 -> 鸽巢原理 数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被5和25整除的规则