גאומטריה

גאומטריה היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונות וביחסים של נקודות, קווים, משטחים, גופים ואנלוגים ממדיים גבוהים יותר. שאלות צפויות כוללות חישוב אורכים, זוויות, שטחים ונפחים של צורות שונות, הבנת משפטים גאומטריים ופתרון בעיות הקשורות לחשיבה מרחבית.

גאומטריה במרחב טריגונומטריה גאומטריה על כדור גאומטריה במישור ווקטורים

• שאלה

  נתון מצולע משוכלל בעל n קודקודים. חשבו את כמות המשולשים השונים (לא חופפים) שקודקודיהם מתלכדים עם קודקודי המצולע

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 4 שאלה 3

• שאלה

  נתון דף משבצות אינסופי שקודקודיו צבועים בשני צבעים, כחול ואדום. הוכיחו כי קיימים שני ישרים אופקיים ושני ישרים אנכיים כך שארבע נקודות החיתוך שלהם צבועים בצבע זהה.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • תרגילי זברה, תשע"ט, תרגיל 1 שאלה 1

• משושה

  בציור משושה משוכלל. פי כמה השטח הלבן גדול יותר מהשטח המקווקו?

  (משושה משוכלל הוא משושה שכל הצלעות שלו שוות וכל הזוויות שלו שוות)

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 6

• מכפלות שטחים

  בציור מלבן ונקודה בתוכו. מעבירים דרך הנקודה שני קטעים מקבילים לצלעות המלבן שמחלקים את המלבן ל-4 מלבנים קטנים יותר.
  הוכיחו כי מכפלת השטחים המקווקוים בתוך המלבן שווה למכפלת השטחים הלבנים בתוך המלבן.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 4

• מכפלת שטחים

  בציור מרובע בעל אלכסונים מאונכים. הוכיחו כי מכפלת השטחים המקווקים בתוך המרובע שווה למכפלת השטחים הלבנים בתוך המרובע.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 3

• גזירה

  מה הוא המספר הגדול ביותר של מלבנים בגודל `2 times 5`  שאפשר לגזור מתוך ריבוע `9 times 9`?

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 1
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 1

• שטח אפור

  בציור מלבן המורכב מ-5 ריבועים בגודל `2 times 2 ` וישר שחוצה אותו באלכסון.
  מצאו את השטח המושחר.

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 3

• פאזל

  ברשותכם פאזל, שכל חתיכה שלו נראית כך:

  

  
  הצורה הבאה מורכבת מ-12 חתיכות. מה הוא ההיקף שלה?

  

  נושאים:

  אריתמטיקה גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 6

• מצולעים משוכללים ועיגולים

  א.

  בציור הימני מופיע ריבוע, שבתוכו נמצאים 4 מעגלים. רדיוסי המעגלים שווים זה לזה, וכל מעגל משיק לשני מעגלים אחרים וגם לשתיים מצלעות הריבוע. מצאו את היחס בין שטח החלק הכחול לשטח החלק הלבן של הריבוע.

  ב.

  בציור השמאלי מופיע משושה, שבתוכו נמצאים 6 מעגלים בעלי רדיוס זהה. כל מעגל משיק לשני מעגלים אחרים וגם לצלע אחת של המשושה, באמצעה. מצאו את היחס בין שטח החלק הכחול לשטח החלק הלבן של המשושה.

   

  

  (פורמט הפתרון: "x, y" למשל "1/8, 7/100")

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ז שאלה 1

• משולשים ישרי זווית וריבוע

  נתונה כמות גדולה של משולשים ישרי זווית חופפים.

  אורכי הצלעות בכל משולש הן 3 ,4 ו-5.

  כמה משולשים כאלה, לכל היותר, אפשר למקם בתוך ריבוע 20×20 ,כך שהם לא יעלו זה על זה?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ז שאלה 3