代数学
代数学是数学的一个广泛分支，使用符号（通常是字母）来表示数字并陈述规则和关系。它涉及操作表达式，解方程和不等式，以及研究函数和结构。问题涵盖这些主题的广泛范围。
代数技巧 方程 不等式 应用题 数列-
二次方程
解下列方程：
甲：`({x^2+6}/{x^2-4})^2=({5x}/{4-x^2})^2`
乙： `7(x+1/x)-2(x^2+1/x^2)=9`
丙： `sqrt{x+2sqrt{x-1}}-sqrt{x-2sqrt{x-1}}=2`
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根式的除法
求和 `1/{sqrt1+sqrt2}+1/{sqrt2+sqrt3}+...+1/{sqrt99+sqrt100}`。
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二次方程的根的关系
给定二次方程 `ax^2+bx+c=0` ，其解为 `x_{1,2}={-b+-sqrt{b^2-4ac}}/{2a}`。
甲：证明韦达定理：`x_1x_2=c/a` `x_1+x_2=-b/a,`。
乙：用a，b，c表示以下表达式： `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}` `1/x_1+1/x_2, ` `x_1^3+x_2^3,` `x_1^2+x_2^2`。
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分解和公式的应用
一个有趣的公式是 `x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)`。
a: 利用此公式分解表达式 `a^n-b^n`。
b: 当 n 为任意奇数时，分解表达式 `a^n+b^n`。
c: 证明如果 `2^n-1` 是素数，那么 n 也是素数。
d: 证明如果 `2^n+1` 是素数，那么 n 必然是 2 的幂，这等价于 `n=2^m`
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有限除法
找出所有满足以下条件的整数 x, y, z, w： `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `。
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有限除法
找出所有满足 `x^2+y^2=3z^2+3w^2 ` 的整数 x, y, z, w.
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矩形的增大
给定一个平面上的矩形。是否有可能在矩形的每条边都增加 1 厘米后，面积增加 1 平方米？请给出一个例子或证明这是不可能的。
（如果矩形是 1x5，那么它变成 2x6，并且任何边都不能为 0）
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整数表达式
找出所有使表达式 `{(n+2)^4}/{n-1}` 有定义且为整数的整数 n。
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整数系数？
已知实数 a,b,c 使得对于每个整数 x，数 `ax^2+bx+c` 是整数。 这是否一定意味着 a,b,c 都是整数？ 证明成立或提供反例。
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对抗
Ehud 和 Benjamin 参加一场公开对抗。 每个人轮流向对手提出问题。 Ehud 被选为第一个提问者。 "难题" 是指对手无法回答的问题。 成功提出难题的竞争者立即赢得对抗。 两位竞争者各自找到（轮到他们时）难题的概率恰好是 1/2。 此外，已知问题之间没有任何依赖关系。 Ehud 赢得对抗的概率是多少？